Home/ Intrebari/Q 77187
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Laur
Pe: 2012-06-11T16:54:35+03:00 In: In:

Logaritm

Sa se arate ca daca a,b,c apartin (1,+infinit), atunci:

log din baza a din [(a+b+c)/3] + log din baza b din [(a+b+c)/3]+ log din baza c din [(a+b+c)/3] >=3.

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Deoarece a,b,c>0, din inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica avem \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}. Atunci, cum a,b,c\in(1;\infty) avem \sum \log_a \frac{a+b+c}{3}\geq \sum \log_a \sqrt[3]{abc}=\sum \frac{1}{3}\log_a(abc)=\frac{1}{3}\sum \log_a (abc). Incercam sa demonstram ca \frac{1}{3}\sum \log_a(abc)\geq 3 \Leftrightarrow \sum \log_a(abc)\geq 9, adica \log_a(abc)+\log_b(abc)+\log_c(abc)\geq 9 \Leftrightarrow \log_aa+\log_ab+\log_ac+\log_ba+\log_bb+\log_bc+\log_ca+\log_cb+\log_cc\geq 9 \Leftrightarrow (\log_ab+\log_ba)+(\log_bc+\log_ca)+(\log_ca+\log_ac)\geq 6 (*).

    Deoarece a,b,c sunt de aceeasi parte a lui 1, toti logaritmii din membrul stang al inegalitatii anterioare sunt strict pozitivi. Aplicand inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica avem \log_ab+\log_ba\geq 2\sqrt{\log_ab\cdot \log_ba}=2\sqrt{1}=2 si insumand aceasta inegalitate cu celalalte doua analoage rezulta inegalitatea (*).

    EGALITATE: Egalitatea se atinge daca in cele doua dati incare am aplicat inegalitatea mediilor avem egalitati. Conditia de egalitate in prima inegalitate aplicata este a=b=c, iar in a doua (care de fapt contine trei aplicatii) \log_ab=\log_ba \\ log_bc=\log_cb \\ log_ca=\log_ac, ambele echivalente cu a=b=c.

Raspunde

Raspunde