Home/ Intrebari/Q 77134
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

cristyghy96
Pe: 2012-06-06T16:40:25+03:00 In: In:

trigonometrie

sti cineva cum se face exercitiul
daca x+y+z=2kπ, , sa se arte ca sinx+siny+sinz=(-1)**k+1*4sinx/2*siny/2*sinz/2
trbuie exprimate x, y sau z in fct de x+y+z=2kπ

Similare

19 raspunsuri

  1. cristyghy96

    putem face sinx+siny+sinz+sin0 si sa grupam ,iar duma il fom exprima pe z in fct de x , y si 2kπ

  2. Zeus
    veteran (III)

    \rm{x+y+z=2*k*\Pi =>z=2*k*\Pi-(x+y); sin(x)+sin(y)+sin(2*k*\Pi-(x+y))=\\sin(x)+sin(y)+sin(2*k*\Pi)*cos(x+y)-sin(x+y)*cos(2*k*\Pi)\\=sin(x)+sin(y)-sin(x)*cos(y)-sin(y)*cos(x)=sin(x)*(1-cos(y))+sin(y)*(1-cos(x))\\=4*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})*sin^2(\frac{y}{2})+4*sin(\frac{y}{2})*cos(\frac{y}{2})*sin^2(\frac{x}{2})\\=4*sin(\frac{x}{2})*sin(\frac{y}{2})*sin(\frac{x+y}{2})\\ \frac{x+y}{2}=k*\Pi-\frac{z}{2}=>\\sin(\frac{x+y}{2})=sin(k*\Pi)*cos(\frac{z}{2})-cos(k*\Pi)*sin(\frac{z}{2})=(-1)*(-1)^k*sin(\frac{z}{2}) q.e.d.\\

  4. TheAssassin11

    Ajutatima va rog!
    Daca M este un punct oarecare pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC ,aratati ca expresia MA(la a doua)+MB(la a doua)+MC(la a doua) nu depinde de pozitia lui M.

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Cu relatia lui Leibniz (Demonstratie aici: http://www.scribd.com/doc/50103673/mate) avem MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2, unde notatiile sunt cele uzuale.

    Cum M este pe cercul circumscris si deoarece triunghiul este echilateral avem O=G, rezulta MA^2+MB^2+MC^2=3MO^2+GA^2+GB^2+GC^2 \Leftrightarrow MA^2+MB^2+MC^2=3R^2+GA^2+GB^2+GC^2, adica expresia data nu depinde de pozitia punctului M.

  6. TheAssassin11

    Stabiliti natura triunghiului ABC in care a+b=2c si sinA+sinB= radical din 3[/code]

  8. TheAssassin11

    Se considera un triunghi ABC in care b(la a doua)+c(la a doua)+bc=a(la a doua).Determinati masura unghiului A si aratati ca: ctgB*ctgC=>(mai mare sau egal)3.*=inmultire

  9. PhantomR
    expert (VI)

    VA ROG SA FACETI CATE UN TOPIC (SUBIECT) SEPARAT PENTRU FIECARE PROBLEMA!

  10. DD
    profesor

    Sa aplicam teorema sinusurilor si sa tinem seama de relatiile impuse de problema, deci ;
    a+b=2c -> 2.R.(sinA+sinB)=2.2R.sinC , sau ; sinC=(radical din 3)/2-> 1]. (<C)’=60gr. sau ; 2]. (<C)”=120gr.
    Dar sinA+sinB=2sin[(A+B)/2] . cos[(A-B)/2]=(radical din 3) , sau ;1]. sin(90-C’/2).cos[(A-B)/2]=(radical din 3)/2, sau ;cos(C’/2).cos[(A-B)/2]=cos(30).cos[(A-B)/2]=[(radical din 3)/2].cos[(A-B)/2]=(radical din 3)/2 ->
    cos[(A-B)/2]=1->A=B . Cum C’=60gr si A=B si 60+A+B=60+2.A=180->A=B=C=60gr ->echilateral.
    Cazul 2]. Plecam de la ;cos(C”/2).cos[(A-B)/2]=cos(60).cos[(A-B)/2]=(radical din 3)/2 -> (1/2).cos[(A-B)/2]=(radical din 3)/2 ->cos[(A-B)/2]=
    (radical din 3)>1 solutie neverosimil

  12. PhantomR
    expert (VI)

    TheAssassin11 wrote: Se considera un triunghi ABC in care b(la a doua)+c(la a doua)+bc=a(la a doua).Determinati masura unghiului A si aratati ca: ctgB*ctgC=>(mai mare sau egal)3.*=inmultire

    Avem b^2+c^2+bc=a^2 \Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=-bc. Dar din teorema cosinusului avem \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}. Cum A\in (0;180) rezulta A=120^{\circ}.

    Inegalitatea sigur e buna 🙂?

  13. DD
    profesor

    Pentru domnul „Asasin”. Aplicand teorema generala a lui Pitagora , rezulta cosA=-1/2, sau ; <A=120gr. Din ; ctgB.ctgC>=3 ->cosB.cosC>= 3.sinB.sinC, sau ; cosB.cosC-sinB.sinC>=2sinB.sinC, sau ;cos(B+C)>=
    cos(B-C)-cos(B+C) , sau ; 2.(-cosA)=-2.(-1/2)=1=cos(B-C) sau B=C=30gr Deci triunghiul este isoscel cu ; <A=120 si B=C=30gr

  14. TheAssassin11

    da e buna phantom

  16. PhantomR
    expert (VI)

    DD wrote: Pentru domnul „Asasin”. Aplicand teorema generala a lui Pitagora , rezulta cosA=-1/2, sau ; <A=120gr. Din ; ctgB.ctgC>=3 ->cosB.cosC>= 3.sinB.sinC, sau ; cosB.cosC-sinB.sinC>=2sinB.sinC, sau ;cos(B+C)>=
    cos(B-C)-cos(B+C) , sau ; 2.(-cosA)=-2.(-1/2)=1=cos(B-C) sau B=C=30gr Deci triunghiul este isoscel cu ; <A=120 si B=C=30gr

    Domnule DD, cred ca trebuia sa demonstrati acea inegalitate nu sa o folositi 🙂.

    Domnule TheAssassin11, multumesc pentru raspuns!:)

  17. TheAssassin11

    daca ai putea face si asta domnule phantom ctgB*ctgC=>(mai mare sau egal)3. este tot de la acea problema va rog frumos.multumesc

  18. PhantomR
    expert (VI)

    Din pacate nu sunt sigur cum as putea rezolva acea inegalitate cu cotangente.

  20. Zeus
    veteran (III)

    Eu unul nu mai inteleg nimic… ce se cere… omul asta a pus cred >5 probleme aici… doar azi! PhantomR daca stii cumva problema posteaz-o te rog in latex! Multumesc.

  21. PhantomR
    expert (VI)

    TheAssassin11 wrote: Se considera un triunghi \bigtriangleup{ABC} in care b^2+c^2+bc=a^2.Determinati masura unghiului A si aratati ca: \rm{ctg}B\cdot \rm{ctg}C[tex]\Rightarrow\geq 3.[/tex]

  22. Zeus
    veteran (III)

    Ok. Cred ca ma apuc de ea maine… de-abia i-am facut prb cu AI=4*R*sin(B/2)*sin(C/2) pe care o s-o postez tot maine! Multzam!

  24. GreatMath
    veteran (III)

    PhantomR wrote: Se considera un triunghi \bigtriangleup{ABC} in care b^2+c^2+bc=a^2.Determinati masura unghiului A si aratati ca: \rm{ctg}B\cdot \rm{ctg}C[tex]\Rightarrow\geq 3.[/tex]

    \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\\ {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\,\,\left( {{\rm{T}}{\rm{. cosinusului}}} \right)\\ - - - - - - - - - - - - - - \left[ {1\left( - \right)2} \right] \Rightarrow \\ 2bc\cos A = - bc \Rightarrow \cos A = - \frac{1}{2} \Rightarrow \end{array}
    \widehat{A}=...

  25. Zeus
    veteran (III)

    \rm{In conditiile in care A=120 grade si B+C=60 =>cos(B+C)=\frac{1}{2}.\\ Sa scriem ctg(B)*ctg(C)\geq 3 intr-o forma mai simpla! \frac{cos(B)*cos(C)-sin(B)*sin(C)}{sin(B)*sin(C)}\geq 2\\=>\frac{cos(B+C)}{sin(B)*sin(C)}\geq 2 =>Avem de demonstrat ca 4*sin(B)*sin(C)\leq 1.\\ Din teorema sinusurilor=>a=2*R*sinA=2*R*\frac{sqrt{3}}{2}=>a^2=3*R^2.\\ La fel b^2=4*R^2*sin^2(B) c^2=4*R^2*sin^(C) si b*c=4*R^2*sin(B)*sin(C)\\ =>inlocuind in b^2+c^2+b*c=a^2 si simplificand prin 4*R^2.\\ sin^2(B)+sin^2(C)+sin(B)*sin(C)=\frac{3}{4}. Scadem 3*sin(B)*sin(C)\\ =>[sin(B)-sin(C)]^2=\frac{3}{4}-3*sin(B)*sin(C). Partea stanga e pozitiva.\\ =>Tb ca si partea dreapta sa fie pozitiva =>\frac{3}{4}-3*sin(B)*sin(C)\geq 0\\ =>4*sin(B)*sin(C)\leq 1 q.e.d.\\

Raspunde

Raspunde