sa se arate ca oricare ar fi 2^2011+1 numere prime mai mari ca 2,exista cel putin doua care au diferenta divizibila cu 2^2011 multumesc
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
sa se arate ca oricare ar fi 2^2011+1 numere prime mai mari ca 2,exista cel putin doua care au diferenta divizibila cu 2^2011 multumesc
Mai general, daca n>0 este un numar natural atunci oricum am alege n+1 numere(fie acestea prime sau nu, fie acestea >2 sau nu) exista doua a caror diferenta sa se divida cu n. De remarcat ca pentru cazul particular n=2^2011 se obtine problema postata de tine.
Observatie :
Diferenta a doua numere se divide cu n daca si numai daca cele doua numere dau acelsi rest la impartirea cu n
Din Teorema Impartirii cu Rest rezulta ca resturile care se pot obtine prin impartirea unui numar natural la n sunt in numar de n. Deoarece avem
n+1 numere rezulta ca exista cel putin doua care sa dea acelasi rest la impartirea cu n si deci exista cel putin doua numere a caror diferenta sa se divida cu n.
De fapt daca mergem pe conditia ca numerele sa fie prime si >2 atunci sunt de ajuns 2^2010+1 numere prime pentru a fi sigur ca exista printre ele doua a caror diferenta sa se divida cu 2012 (resturile la impartirea cu 2^2011 trebuie sa fie impare).
Mai general daca avem un numar n>0 natural atunci este suficient sa avem fi(n)+1 numere prime strict mai mari decat orice factor prim care apare in descompunerea lui n pentru a fi siguri ca printre ele exista cel putin doua a caror diferenta se divide cu n-unde fi este Indicatorul lui Euler , fi(n) reprezinta numarul de numere naturale mai mici decat n si prime cu n.
De fapt daca mergem pe conditia ca numerele sa fie prime si >2 atunci sunt de ajuns 2^2010+1 numere prime pentru a fi sigur ca exista printre ele doua a caror diferenta sa se divida cu 2012 (resturile la impartirea cu 2^2011 trebuie sa fie impare).
Mai general daca avem un numar n>0 natural atunci este suficient sa avem fi(n)+1 numere prime strict mai mari decat orice factor prim care apare in descompunerea lui n pentru a fi siguri ca printre ele exista cel putin doua a caror diferenta se divide cu n-unde fi este Indicatorul lui Euler , fi(n) reprezinta numarul de numere naturale mai mici decat n si prime cu n.
Generalizare :
Fie n>1 un numar natural si fi=indicatorul lui Euler (adica fi(n) reprezinta numarul de numere naturale mai mici decat n si prime cu n).
Sa se arate ca oricum am alege fi(n)+1 numere prime, strict mai mari decat orice factor prim care apare in descompunerea lui n, exista cel putin doua a caror diferenta se divide cu n.
De unde ai luat problema ?