Home/ Intrebari/Q 76411
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

UncleSam
Pe: 2012-03-26T19:48:34+03:00 In: In:

Problema cu modul

„Sa se rezolve ecuatia in x:

    \[ \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| = 3 + x \]

” Eu am rezolvat exercitiul in sensul ca am explicitat fiecare modul:

    \[ \begin{array}{l} \left| {x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \Leftrightarrow x + 1 \ge 0,x \ge - 1; \\ - x - 1 \Leftrightarrow x + 1 < 0,x < - 1; \\ \end{array} \right. \\ \left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \Leftrightarrow x - 1 \ge 0,x \ge 1; \\ - x + 1 \Leftrightarrow x - 1 < 0,x < 1; \\ \end{array} \right. \\ \left| {x - 3} \right| = \left\{ \begin{array}{l} x - 3 \Leftrightarrow x - 3 \ge 0,x \ge 3; \\ - x + 3 \Leftrightarrow x - 3 < 0,x < 3; \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]

si apoi am luat pe cazuri. De ex primul caz cand

    \[ x \ge - 1,x \ge 1,x \ge 3 \]

de unde l-am scos pe x, apoi am trecut la urmatorul caz si asa mai departe numai ca, la sfarsit mi-au iesit o gramada de valori si intervale ale lui x de la diferite cazuri si nu stiu ce sa fac cu ele, sa le intersectez sau sa le reunesc. In orice caz, oricum nu cred ca e bine cum am facut eu si as dori un sfat, o sugestie ceva.

Similare

6 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Scrie acum ec. fara module pe intervalele ; a]. (-infinit , -1) rezolva ec si ia ca bune solutiile ce apartin acestui interval . b]. [-1 , 1), scrie ec , rezolv-o si ia ca bune numai solutiile ce apartin acestui interval. c], [1 , 3), idem , ca la a]. si b]. d]. [3 , infinit) idem. Lucreaza incet si atent . Nu te grabi. Succes

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Puteti folosi si inegalitatea modulului:

    |x+1|+|x-1|+|x-3|=|x+1|+|x-1|+|3-x|\geq |x+1+x-1|+|3-x| =|2x|+|3-x| \geq |2x+3-x|=|x+3|. Atunci avem x+3\geq |x+3|, dar stim ca pentru orice numar real avem |a|\geq a si deci |x+3|=x+3, de unde avem ca x+3\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -3 si ,in plus, toate inegalitatile precedente devin egalitati.

    Am aplicat inegalitatea modulului de doua ori. Pentru ca in primul caz sa avem egalitate trebuie ca x+1 si x-1 sa aiba acelasi semn \Leftrightarrow (x+1)(x-1)\geq 0, de unde x^2-1\geq 0. Daca luam membrul stang ca o functie de gradul doi, atunci obtinem ca solutiile sale sunt x_1=-1 si x_1=1, ceea ce implica x\in (-\infty,-1] \cup [1,\infty).

    In al doilea caz avem egalitate daca 2x si 3-x au acelasi semn \Leftrightarrow 2x(3-x)\geq 0 \Leftrightarrow 6x-2x^2\geq 0 \Leftrightarrow 3x-x^2\geq 0 \Leftrightarrow x^2-3x\leq 0. Membrul stang luat ca o functie de gradul doi are radacinile x_1=0 si x_2=3, de unde x\in[0,3].

    Atunci avem x\in[-3,\infty) \cap ((-\infty,-1]\cup [1,\infty)) \cap [0,3]=[1,3].

    S=[1,3].

  4. UncleSam

    Mai sunt curios de-o chestie. De ce rezolvarea mea nu e corecta? Care e greseala de rationament?

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Daca am inteles bine ce ati incercat sa faceti, eu nu vad nicio greseala, doar ca banuiesc ca e destul de complicat sa „alegeti” acele cazuri 🙂.

    V-am raspuns la „MP”. 🙂

  6. DD
    profesor

    Ca sa-ti raspund, mi-ar trebui problema. Am uitat-o . Daca o reeditezi , fa-ma atent, cumva.

  8. DD
    profesor

    A aparut problema .Deci;
    In intervalul ;(-infinit , -1), avem ec; -x-1-x+1-x+3=x+3 , sau 4.x=0->x=0
    , dar zero nu apartine intervalului si nu poate fi solutie.
    In intervalul ; [-1 , 1), avem ec; x+1-x+1-x+3=x+3 , sau ; 2.x=1->x=1 , nu apartine intervalului si nu este solutie.
    In intervalul ; [1 , 3) , avem ec. x+1+x-1-x+3=x+3 , sau ;x+3=x+3 identitate si x poate lua orice valoare din interval . In acest caz , toate punctele intervalului sunt solutii, adica toate elementele itervalului ; [1 , 3)
    sunt solutii .
    In intervalul; [3 , infinit) , avem ec.; x+1+x-1+x-3=x+3 , sau 2.x=6->x=3 , apartine intervalului si este solutie.Reuni solutiile din ultimile 2 cazuri si avem ; [1 , 3)U{3}=[1 , 3]. Elementele acestui interval inchis , sunt solutiile cautate.
    Am cautat a fi cat mai clar.Cu respect.DD

Raspunde

Raspunde