in triunghiul ABC construim bisectoarea (AD, D ϵ(BC) precum si BE _|_ AD, E ϵAC,CF_|_AD, F ϵ AB . Aratati ca punctele F,D,E sunt coliniare
AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
in triunghiul ABC construim bisectoarea (AD, D ϵ(BC) precum si BE _|_ AD, E ϵAC,CF_|_AD, F ϵ AB . Aratati ca punctele F,D,E sunt coliniare
Fie M intersectia lui BE cu AD, si N intersectia lui FC cu AD.
In triunghiul ABE, AM este si bisectoare si inaltime, deci triunghiul ABE este isoscel => AM este si mediatoare a lui (BE).
Analog, triunghiul AFC este isoscel iar AN este si mediatoare a lui (FC).
Deoarece D apartine mediatoarei AM, a lui (BE), rezulta ca triunghiul BDM este congruent cu triunghiul EDM => ca unghiul BDM este congruent cu unghiul EDM (1). Analog, unghiul FDN este congruent cu unghiul CDN(2).
Dar unghiul BDM este congruent cu unghiul CDN(ca opuse la varf)(3)
Din (1), (2) si (3) rezulta ca unghiul FDN este congruent cu unghiul EDM => F, D si E sunt coliniare.
Daca nu e clar pot detalia.
poti detalia te rog frumos multumesc:D:*
Fie M intersectia lui BE cu AD, si N intersectia lui FC cu AD.
In triunghiul ABE, AM este si bisectoare si inaltime, deci triunghiul ABE este isoscel => AM este si mediatoare a lui (BE).
Analog, deoarece AD este si bisectoare si inaltime, rezulta ca triunghiul AFC este isoscel deci AN este si mediatoare a lui (FC).
Detaliere la Proprietatea: „Daca intr-un triunghi o bisectoare este si inaltime atunci triunghiul este isoscel iar bisectoarea este si mediatoare”.
Demonstratie: Fie XYZ un triunghi, iar XT bisectoare a unghiului YXZ, cu T apartinand lui (YZ). Din cazul Cateta-Unghi rezulta ca triunghiul XYT este congruent cu triunghiul XZT => Unghiul XTY este congruent cu unghiul XTZ. Dar m(XTY)+m(XTZ)=180 => m(XTY)=m(XTZ)=90, deci XT este si inaltime. Din congruenta triunghiurilor XYT si XZT rezulta ca YT=TZ, deci XT este perpendiculara pe YZ la jumatatea lui, deci XT este si mediatoare.
Aplicand proprietatea anterioara la problema noastra rezulta ca AD este si bisectoare si inaltime si mediatoare in triunghiurile ABE si AFC.
Mai departe demonstram Afirmatia: Deoarece D apartine mediatoarei AM, a lui (BE), rezulta ca triunghiul BDM este congruent cu triunghiul EDM.
Demonstratie: Deoarece AM este mediatoarea lui (BE) => (BM)=(ME) (1)
Dar (MD) latura comuna(2)
Din (1) si (2) si cazul Cateta-Cateta rezulta ca triunghiurile BDM si EDM sunt congruente => ca unghiul BDM este congruent cu unghiul EDM (3). Analog, unghiul FDN este congruent cu unghiul CDN(4).
Dar unghiul BDM este congruent cu unghiul CDN(ca opuse la varf)(5)
Din (3), (4) si (5) rezulta ca unghiul FDN este congruent cu unghiul EDM => F, D si E sunt coliniare.