Home/ Intrebari/Q 76119
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andru95
Pe: 2012-03-08T14:55:53+02:00 In: In:

Functii

1. Fie A o multime nevida.Sa se arate ca multimea A este finita daca si numai daca are loc una din proprietatile:
a). orice functie injectiva f:A->A este si functie surfectiva
b). orice functie surjectiva f:A->A este si functie injenctiva

Similare

8 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Si in cazul a]. si in cazul b]. functia ; f ; A -> A , este bijectiva. In acest caz, fiecarui element din domeniu ii corespunde un anumit element din codomeniu si numai un element. Deci, numarul elementelor din domeniu este egal cu numarul elementelor din codomeniu, din care cauza multimea A poate fi oricat de mare, dar nu infinita. (nu se poate analiza proprietatea de bijectivitate , la infinit). (parerea mea).

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Eu cred ca se poate 🙂. De exemplu, f(x)=x este bijectie \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.

  4. andru95

    Deci,cum e pana la urma.Si daca se poate sa mi-o explicati ca o sa am in genu la asta maine la test.Va rog

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Sunteti in clasa de elita? Faceti asa ceva la clasa :O?

    Daca A este finita atunci fie card A = n si fie f:\mathbb{A}\rightarrow \mathbb{A} o functie oarecare.

    a) Daca f este injectie atunci sa presupunem ca ar exista p\in\mathbb{A} astfel incat f(x)\neq p, \forall x\in\mathbb{A}. Deoarece din injectivitate \forall x_1,x_2\in\mathbb{A}, x_1\neq x_2 avem f(x_1)\neq f(x_2) rezulta ca functia ia cel putin n valori diferite. Atunci presupunerea facuta ar implica faptul ca A are cel putin n+1 elemente, contradictie cu faptul ca numarul de elemente al multimii A este exact n. Deci nu avem niciun element p\in\mathbb{A} astfel incat f(x)\neq p, \forall x\in\mathbb{A}, de unde f surjectie.

    b) Daca f este surjectie atunci f ia toate valorile din A. Sa presupunem ca exista x_1,x_2\in\mathbb{A},x_1\neq x_2 astfel incat f(x_1)=f(x_2). Atunci in multimea A exista cel mult n-1 elemente cu imagini distincte prin functia f, contradictie cu faptul ca functia ia exact n valori distincte, din surjectivitate. Asadar \forall x_1,x_2\in\mathbb{A},x_1\neq x_2 avem f(x_1)\neq f(x_2), ceea ce atrage injectivitatea functiei.

    NOTA: Sper ca este cat de cat inteligibila si corecta solutia. O sa ma mai gandesc eventual si la implicatia reciproca.

    P.S Mult succes maine la test!!!

    EDIT: O alta solutie pentru implicatia directa (probabil veti intelege mai bine) se poate gasi la paginile 35-36 de la http://www.scribd.com/doc/33307796/Lectii-de-Algebra .

  6. andru95

    Multumesc din toata inima,mi-ai fost de mare ajutor!:*

  8. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere! Sper ca v-ati descurcat la test!

    Am postat problema si pe un alt forum. Aici este demonstrata echivalenta celor trei relatii (\mathbb{A} finita si cele doua proprietati 1) si 2)).

    Va multumesc si eu ca ati postat problema, este simpatica!:)

  9. andru95

    N-ai pentru ce,eu iti multumesc mai mult! Daca ai putea sa ma ajuti si la celelalte probleme la matematici financiare,ar fi super! Mersi inca o data!

  10. PhantomR
    expert (VI)

    Cu cea mai mare placere! La matematici financiare nu cred ca ma prea descurc.. Cu multa placere!

    Am uitat cred sa las link-ul catre acea rezolvare:

Raspunde

Raspunde