Puteti sa-mi spuneti va rog cum se face acest exercitiu:
Sa se afle ultimele 4 cifre ale numarului: 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400
Multumesc
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Puteti sa-mi spuneti va rog cum se face acest exercitiu:
Sa se afle ultimele 4 cifre ale numarului: 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400
Multumesc
Sa se afle ultimele 4 cifre ale numarului: 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400
Cu ultima cifra pot sa te ajut: 9 la o putere impara are ultima cifra 9 iar la o putere para are ultima cifra 1. Suma are 400 de termeni dintre care 200 se termina in 1 iar 200 se termina in 9. Deci la cifra unitatilor vei avea: 200*1=200 + 200*9=1800 =›200+1800=2000.
Sa se afle ultimele 4 cifre ale numarului: 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400
Cu ultima cifra pot sa te ajut: 9 la o putere impara are ultima cifra 9 iar la o putere para are ultima cifra 1. Suma are 400 de termeni dintre care 200 se termina in 1 iar 200 se termina in 9. Deci la cifra unitatilor vei avea: 200*1=200 + 200*9=1800 =›200+1800=2000.
Mai exista formula: x^0+x^1+x^2++x^3+…+x^n= [x^(n+1)-1]/n-19^0 +9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400= {[(9^401) – 1]/(9-1)} – 9^0 ={[(9^401) – 1]/8}-1
=›
9^401=9^1*(9^4)^100=›9^401= M100*9^1*9^4=M100*9^5=M100*59049
De aici poate ca ne lamureste cineva!!!
Sa se afle ultimele 4 cifre ale numarului: 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400
Cu ultima cifra pot sa te ajut: 9 la o putere impara are ultima cifra 9 iar la o putere para are ultima cifra 1. Suma are 400 de termeni dintre care 200 se termina in 1 iar 200 se termina in 9. Deci la cifra unitatilor vei avea: 200*1=200 + 200*9=1800 =›200+1800=2000.
Mai exista formula: x^0+x^1+x^2++x^3+…+x^n= [x^(n+1)-1]/n-19^0 +9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400= {[(9^401) – 1]/(9-1)} – 9^0 ={[(9^401) – 1]/8}-1
=›
9^401=9^1*(9^4)^100=›9^401= M100*9^1*9^4=M100*9^5=M100*59049
De aici poate ca ne lamureste cineva!!!
Avem ca numarul format de ultimele patru cifre ale unui numar este egal cu restul impartirii numarului la 10000.Deoarece descompunerea in factori primi a lui 10000 este 2^4*5^4 rezulta ca trebuie sa ne ocupam de restul numarului din enunt la impartirea cu 2^4=16 si de restul numarului din enunt la impartirea cu 5^4=625
Deoarece o putere a lui 9 da restul 1 la impartirea cu 16 daca exponentul este par si restul 9 la impartirea cu 16 daca exponentul este impar rezulta ca suma a opt puteri consecutive a lui 9 este divizibila cu 16. Grupam cele 400 de puteri ale lui 9 consecutive din expresia numarului in grupe de cate 8 consecutive. Rezulta ca numarul din enunt se divide cu 16
Avem ca daca a si b dau acelasi rest la impartirea cu m atunci pentru orice n natural avem ca
a^n si b^n dau acelasi rest la impartirea cu m
Avem ca 9^10 da restul 26 la impartirea cu 625 si deci
9^50=(9^10)^5 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 26^5 adica 126
si deci 9^400=(9^50)^8 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 126^8 adica 376
Deci numarul cautat da restul 0 la impartirea cu 16 si restul 376 la impartirea cu 625
Ca urmare 9^400-1 da restul 375 la impartirea cu 625 de unde rezulta ca
9*(9^400-1) da restul 250 la impartirea cu 625 si deci numarul nostru care este egal cu
9*(9^400-1)/8 da restul 500 la impartirea cu 625.
Deci numarul nostru este de forma 625k+500 cu k ales astfel incat 625k+500 sa fie divizibil cu 16.
Deoarece 625 da restul 1 la impartirea cu 16 iar 500 da restul 4 la impartirea cu 16 rezulta ca este necesar ca restul impartirii lui k la 16 sa fie 12.
Deci numarul nostru este de forma
625k+500=
=625(16t+12)+500=
=10000t+8000 si deci numarul format de ultimele 4 cifre este 8000
Multumesc pentru raspuns.
Pana la urma am reusit sa dau o solutie dar foarte muncitoreasca:
Lista primelor 20 de puteri ale lui 9 este(de la a 11-a putere incolo am pus doar ultimele 6 cifre ale numarului)(din cauza ca editorul acesta nu le alinia bine unele sub altele am fost nevoit sa adaug zerouri la inceput ca sa se alinieze):
0.000.000.009
0.000.000.081
0.000.000.729
0.000.006.561
0.000.059.049
0.000.531.441
0.004.782.969
0.043.046.721
0.387.420.489
3.486.784.401
……….059.609
……….536.481
……….828.329
……….454.961
……….094.649
……….851.841
……….666.569
……….999.121
……….992.089
……….928.801
Daca le adunam doua cate doua(consecutive) se obtin urmatoarele sume:
0.000.000.090
0.000.007.290
0.000.590.490
0.047.829.690
3.874.204.890
……….596.090
……….283.290
……….146.490
……….665.690
……….920.890
Dupa cum se observa ultimele 2 cifre sunt intotdeauna 90.
Cifra sutelor creste din 2 in 2 incepand de la 0. Deci la fiecare 10 puteri ale lui 9 suma cifrei sutelor este 0+2+4+6+8=20
De asemenea se observa ca adunand cifrele de pe coloana a 4 (a miilor) se obtine, la fiecare 10 puteri, suma 20: 0+0+7+0+9+4=20 si 6+3+6+5+0=20
Deci, 90*200=18000
20*100*40= 80000
20*1000*40= 800000
Deci ultimele 4 cifre ale sumei 9^1 + 9^2 +…+ 9^400 sunt …8000
Realizez ca solutia nu e prea buna dar alta nu am gasit.
Mai exista formula: x^0+x^1+x^2++x^3+…+x^n= [x^(n+1)-1]/n-19^0 +9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400= {[(9^401) – 1]/(9-1)} – 9^0 ={[(9^401) – 1]/8}-1
=›
9^401=9^1*(9^4)^100=›9^401= M100*9^1*9^4=M100*9^5=M100*59049
De aici poate ca ne lamureste cineva!!!
Avem ca numarul format de ultimele patru cifre ale unui numar este egal cu restul impartirii numarului la 10000.Deoarece descompunerea in factori primi a lui 10000 este 2^4*5^4 rezulta ca trebuie sa ne ocupam de restul numarului din enunt la impartirea cu 2^4=16 si de restul numarului din enunt la impartirea cu 5^4=625
Deoarece o putere a lui 9 da restul 1 la impartirea cu 16 daca exponentul este par si restul 9 la impartirea cu 16 daca exponentul este impar rezulta ca suma a opt puteri consecutive a lui 9 este divizibila cu 16. Grupam cele 400 de puteri ale lui 9 consecutive din expresia numarului in grupe de cate 8 consecutive. Rezulta ca numarul din enunt se divide cu 16
Avem ca daca a si b dau acelasi rest la impartirea cu m atunci pentru orice n natural avem ca
a^n si b^n dau acelasi rest la impartirea cu m
Avem ca 9^10 da restul 26 la impartirea cu 625 si deci
9^50=(9^10)^5 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 26^5 adica 126
si deci 9^400=(9^50)^8 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 126^8 adica 376
Deci numarul cautat da restul 0 la impartirea cu 16 si restul 376 la impartirea cu 625
Ca urmare numarul cautat este de forma 625k+376 cu k ales astfel incat
625k+376 sa se divida cu 16 . Deaorece restul la impartirea cu 16 a lui 625 este 1 iar restul la impartirea cu 16 a 376 este 8 rezulta ca este necesar ca restul lui k la impartirea cu 16 sa fie 8.
Deci k=16t+8 si deci numarul cautat este de forma
625k+376=625(16t+8)=10000t+625*8+376=10000t+5376 si deci numarul format de ultimele 4 cifre este 5376
De ce mi-a iesit ultima cifra 0? Este gresita varianta mea de calcul?
9 la o putere impara are ultima cifra 9 iar la o putere para are ultima cifra 1. S(U)= 1+9+1+9+…+1. Suma are 400 de termeni dintre care 200 se termina in 1 iar 200 se termina in 9. Deci la cifra unitatilor vom avea: 200*1=200 + 200*9=1800 =›200+1800=2000.
Avem ca numarul format de ultimele patru cifre ale unui numar este egal cu restul impartirii numarului la 10000.Deoarece descompunerea in factori primi a lui 10000 este 2^4*5^4 rezulta ca trebuie sa ne ocupam de restul numarului din enunt la impartirea cu 2^4=16 si de restul numarului din enunt la impartirea cu 5^4=625
Deoarece o putere a lui 9 da restul 1 la impartirea cu 16 daca exponentul este par si restul 9 la impartirea cu 16 daca exponentul este impar rezulta ca suma a opt puteri consecutive a lui 9 este divizibila cu 16. Grupam cele 400 de puteri ale lui 9 consecutive din expresia numarului in grupe de cate 8 consecutive. Rezulta ca numarul din enunt se divide cu 16
Avem ca daca a si b dau acelasi rest la impartirea cu m atunci pentru orice n natural avem ca
a^n si b^n dau acelasi rest la impartirea cu m
Avem ca 9^10 da restul 26 la impartirea cu 625 si deci
9^50=(9^10)^5 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 26^5 adica 126
si deci 9^400=(9^50)^8 da acelasi rest la impartirea cu 625 ca si 126^8 adica 376
Deci numarul cautat da restul 0 la impartirea cu 16 si restul 376 la impartirea cu 625
Ca urmare numarul cautat este de forma 625k+376 cu k ales astfel incat
625k+376 sa se divida cu 16 . Deaorece restul la impartirea cu 16 a lui 625 este 1 iar restul la impartirea cu 16 a 376 este 8 rezulta ca este necesar ca restul lui k la impartirea cu 16 sa fie 8.
Deci k=16t+8 si deci numarul cautat este de forma
625k+376=625(16t+8)=10000t+625*8+376=10000t+5376 si deci numarul format de ultimele 4 cifre este 5376
De ce mi-a iesit ultima cifra 0? Este gresita varianta mea de calcul?
9 la o putere impara are ultima cifra 9 iar la o putere para are ultima cifra 1. S(U)= 1+9+1+9+…+1. Suma are 400 de termeni dintre care 200 se termina in 1 iar 200 se termina in 9. Deci la cifra unitatilor vom avea: 200*1=200 + 200*9=1800 =›200+1800=2000.
Ai dreptate. Dupa ce am obtinu faptul ca 9^400 da restul 376 la impartirea cu 625 rezulta ca 9^400-1 da restul 375 la impartirea cu 625 si deci
9*(9^400-1) da restul 250 la impartirea cu 625 si deci numarul nostru care este egal cu 9*(9^400-1)/8 da restul 500 la impartirea cu 625.
Deci numarul cautat este de forma 625k+500 si trebuie sa se divida cu 16. deaorece 625 da restul 1 la impartirea cu 16 iar 500 da restul 4 la impartirea cu 14 rezulta ca restul impartirii lui k la 16 trebuie sa fie 12.
Deci numarul nostru este de forma 625k+500=
=625(16t+12)+500=
=10000t+8000 si deci numarul format de ultimile 4 cifre este 8000
Multumesc pentru atentionare. Nu stiu unde mi-a fost capul.
Voi modifica si mesajele precedente.
Multumesc foarte mult pentru raspuns. Mi-a luat ceva timp sa-l inteleg. Imi puteti da va rog cateva detalii la urmatoarele afirmatii ale dumneavoastra:
„Ca urmare 9^400-1 da restul 375 la impartirea cu 625 de unde rezulta ca
9*(9^400-1) da restul 250 la impartirea cu 625 si deci numarul nostru care este egal cu 9*(9^400-1)/8 da restul 500 la impartirea cu 625. „
Mie imi da diferit: Daca 9^400-1 da restul 375 la impartirea cu 625 mie imi da ca 9*(9^400-1) da restul 125 la impartirea cu 625.
Cealalta afirmatie nu pot sa o inteleg din cauza lipsurilor mele: 9*(9^400-1)/8 da restul 500 la impartirea cu 625. Imi puteti da va rog cateva detalii care sa ma ajute sa inteleg aceasta proprietate? Va multumesc
Am sa si motivez rezultatul diferit care mi-a dat la restul lui 9(9^400-1) impartit la 650:
Daca x:650=c rest 375 => x=650*c+375 => 9x=9(650*c+375)= 9*650*c+3375=9*650*c+5*650+125=650(9*c+5) + 125
Multumesc
Aplicand formula: x^0+x^1+x^2+x^3+…+x^n= [x^(n+1)-1]/n-1
suma S=
Multumesc. Formula de calcul a expresiei 9^1+9^2+…+9^400 am inteles-o.
Nu am inteles de ce, daca 9*(9^400-1) da restul 250 la impartirea cu 625 atunci 9*(9^400-1)/8 da restul 500 la impartirea cu 625.
Cu alte cuvinte, cum se deduce ca: daca x da restul 250 la impartirea cu 625 atunci x/8 da restul 500 la impartirea cu 625.
Multumesc
Formulam enuntul complet :Daca x : 625 da rest 250 (1)
iar x:8 da rest 0 (deoarece x/8 reprezinta suma unor numere naturale) (2)
atunci (x/8 ) : 625 da restul 500.
Demonstratie
Din (1) rezulta x=625c+250=624c+c+248+2=M8+c+M8+2 (3)
Din (2) rezulta x=M8 (4)
Din (3) si (4) rezulta c=M8+6=8k+6 si dupa ce inlocuim in (1) avem x=625*(8k+6)+250=625*8k+4000=8*(625k+500) rezulta x/8=625k+500 adica cerinta .
Va multumesc mult