Home/ Intrebari/Q 75501
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

gabibercaru
Pe: 2012-01-29T13:53:32+02:00 In: In:

Demonstratie

Consideram numerele a=2+radical de 3 si b=2-radical de 3 .Pentru fiecare n apartine de N notam x indice n=a^n+b^n.

a)Demonstrati ca x indice (n+2) – 4x indice (n+1) + x indice n = 0,pentru orice numar natural n.
b)Demonstrati ca (2 + radical de 3 )la puterea n + (2- radical de 3 )la puterea n este un numar par,pentru orice numar natural n.
c)Aratati ca partea intreaga a numarului real ala puterea n este impara,oricare ar fi n natural.

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    a) x_{n+2}-4x_{n+1}+x_{n}=a^n(a^2-4a+1)+b^n(b^2-4b+1).
    Dar a^2-4a+1=(a-2)^2-3=\sqrt{3}^2-3=0 si b^2-4b+1=(b-2)^2-3=(-\sqrt{3})^2-3=0, de unde rezulta concluzia.

    b) Avem b=2-\sqrt{3}=\frac{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{a}. Atunci x_n=a^n+\frac{1}{a^n}. Vom demonstra prin inductie matematica faptul ca x_n este par.
    Etapa verificarii: Calculam x_1=4, x_2=14 -> ambele pare.
    Etapa demonstratiei: Presupunem ca \forall k\leq n avem x_k par si demonstram ca aceasta implica x_{k+1} par.

    Verificam prin calcul direct [luand, de exemplu, membrul stang si inmultind parantezele] identitatea x_kx_1=x_{k+1}+x_{k-1}, iar din ea va rezulta x_{k+1}=x_kx_1-x_{k-1}. Deoarece, conform presupunerii facute, membrul drept este par obtinem ca x_{k+1} este si el par, ceea ce incheie demonstratia.

    c) De a^n este vorba?

  2. gabibercaru

    c)Da este vorba despre a la puterea n

    Multumesc pentru raspuns!

Raspunde

Raspunde