Home/ Intrebari/Q 75314
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Lucian001
Pe: 2012-01-16T15:55:39+02:00 In: In:

inegalitate

As avea nevoie de putin ajutor la aceasta inegalitate

    \[ \frac{{x^3 }}{{y^3 + z^3 + xyz}} + \frac{{y^3 }}{{z^3 + x^3 + xyz}} + \frac{{z^3 }}{{x^3 + y^3 + xyz}} \ge 1 \] \[ (\forall )x,y,z > 0 \]

Multumesc!

Similare

5 raspunsuri

  1. Anonymous

    <br/> \rm{Notam a=x^3+y^3+xyz ; b=y^3+z^3+xyz ; c=z^3+x^3+xyz si s=x^3+y^3+z^3+xyz\\=>\frac{s-a}{a}+\frac{s-b}{b}+\frac{s-c}{c}\geq 1\\=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{s}\\<br/> f(x)=\frac{1}{x} =>f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0 si f''(x)=\frac{2}{x^3}>0 =>f este convexa.\\ f(a)+f(b)+f(c)\geq 3*f(\frac{a+b+c}{3}). Avem de demonstrat ca 3*f(\frac{a+b+c}{3})\geq \frac{4}{s}\\=>\frac{9}{a+b+c}\geq \frac{4}{s} =>4*(a+b+c)\leq 9*s.\\ Inlocuim=>8*(x^3+y^3+z^3)+12*xyz\leq 9*(x^3+y^3+z^3)+9*xyz\\ =>x^3+y^3+z^3\geq 3*xyz. Asta e adevarata... e chiar inegalitatea mediilor (Ma\geq Mg)\\<br/> Mi-a luat ceva timp demonstratia <E>:(</E><br/>

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Ce rezolvare incredibila! Multe felicitari!

    Doar ca o mica nota, cred ca se putea face fara convexitatea functiei [si mai ales fara derivate, care sunt cam avansate pentru clasa a IX-a]:

    \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 9 \Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}, care este intocmai inegalitatea dintre media aritmetica si cea armonica.

  4. Anonymous

    Nu inteleg PhantomR … detaliaza putin. Adica am inteles ce ai facut cu inegalitatea dar nu inteleg „unde” ai aplicat acea inegalitate.
    P.S. Ms… mi-a luat cam mult ce-i drept pana am rezolvat-o. (daca am ajuns sa cred ca aducerea la acelasi numitor e o solutie… e grav)

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Am aplicat aici: f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right), lucru echivalent cu \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}. Daca nu ma insel, atunci probabil nu ar mai fi fost nevoie nici de functie, ci doar de observarea acestui lucru.

    Sa inteleg ca preferati de obicei solutiile mai elegante si ingenioase. Cateodata poate ajuta chiar si aducerea la acelasi numitor, mai ales in cazul in care nu va vin alte idei. Totusi, in cazul acestei probleme cred ca ar fi fost destul de lungi calculelele..

  6. Anonymous

    Foarte frumos. Nu m-am gandit asha… Felicitari… chiar era nevoie de tb asta altfel rezolvarea ar fi depasit clasa a 9-a.

Raspunde

Raspunde