Home/ Intrebari/Q 75306
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrewww
Pe: 2012-01-15T09:34:33+02:00 In: In:

Problema RMT

Rezolvati ecuatia: log3(5^x – 2) = log5(3^x + 2) unde x apartine lui R.

Similare

4 raspunsuri

  1. Anonymous

    \rm{ \log_{3}{(5^x-2)}=\log_{5}{(3^x+2)}=a =>5^x-2=3^a si 3^x+2=5^a le adunam si ne da\\ 5^x+3^x=5^a+3^a Notam f(x)=5^x+3^x. f(x)=f(a).\\ Daca x>a =>f(x)>f(a)... Daca x<a =>f(x)<f(a). Daca x=a =>f(x)=f(a).\\ 5^x-3^x-2=g(x)=0. Se observa ca g e functie crescatoare.\\ Daca nu ma crezi iti fac cu derivate.\\ Fiind functie crescatoare =>g(x)=0 are o solutie si anume x=1 care e si solutia sistemului.\\

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Foarte frumoasa rezolvare, domnule Blaugranas!

    In privinta acelei functii, voi incerca sa demonstrez urmatorul rezultat. Poate va va ajuta candva. Fie A,B\subseteq \mathbb{R}.Daca f,g:A\rightarrow B, cu Im f, Im g \subseteq [0,\infty) sunt strict crescatoare (descrescatoare) atunci f\cdot g este strict crescatoare (descrescatoare).
    Demonstratie: Fie x_1>x_2. Atunci avem f(x_1)>f(x_2) si g(x_1)>g(x_2). Cum ambii membri ai fiecarei inegalitati sunt pozitivi, inmultim inegalitatile si obtinem f(x_1)g(x_1)>f(x_2)g(x_2), adica si functia f\cdot g este strict crescatoare.
    Pentru descrescatoare se procedeaza analog, luand, de exemplu, x_1<x_2.

    Revenind la functia g(x)=5^x-3^x-2 avem g(x)=3^x[(\frac{5}{3})^x-1]-2 si cum functiile p(x)=3^x si q(x)=(\frac{5}{3})^x-2 sunt strict crescatoare (p este exponentiala cu baza supraunitara, iar q este suma (diferenta) dintre o functie exponentiala cu baza supraunitara si o functie constanta), rezulta, conform rezultatului demonstrat anterior, ca p\cdot q este si ea o functie strict crescatoare si urmeaza faptul ca g este si ea strict crescatoare fiind suma (diferenta) dintre o functie strict crescatoare si o functie constanta.

  4. Anonymous

    Frumos PhantomR … niciodata nu m-am gandit la chestii de genu` asta. (tot foloseam derivate).

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Va multumesc! Sper sa fie si corect 😀 . Banuiesc ca este mai usor cu derivate decat asa, dar probabil foloseste si asta la ceva pentru cei care nu cunosc analiza.

Raspunde

Raspunde