Home/ Intrebari/Q 75303
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_g
Pe: 2012-01-14T17:43:31+02:00 In: In:

Inegalitate cu sin si cos

Sa se arate ca :

    \[ \left| {a\sin x + b\cos x} \right| \le \sqrt {a^2 + b^2 } \]

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Cum ambii membri sunt pozitivi, inegalitatea este echivalenta, prin ridicare la patrat, cu a^2\sin^2x +2ab\sin x \cos x +b^2\cos^2x\leq a^2+b^2 \Leftrightarrow a^2(1-\sin^2x)-2ab\sin x \cos x + b^2(1-\cos ^2x) \Leftrightarrow 0\leq a^2 \cos^2x -2ab \sin x \cos x +b^2\sin ^2x \Leftrightarrow 0 \leq (a\cos x - b \sin x )^2, adevarat.

    OPTIONAL(sau nu?:)):
    In plus egalitatea are loc pentru a\cos x - b\sin x = 0 \Leftrightarrow a\cos x = b\sin x. Daca b=0 atunci avem ori \cos x = 0 \Leftrightarrow x= \pm\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z} ori a=0. Daca \cos x = 0 \Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z} atunci b=0 sau \sin x = 0, aceasta din urma fiind imposibila pentru ca nu exista x real pentru care sa avem \cos x = \sin x = 0 (De ce? Un argument ar fi faptul ca acea egalitate ar implica \sin^2x=\cos^2x=0^2=0 \Rightarrow \sin^2x+\cos^2x=0+0=0\neq 1, contradictie cu formula fundamentala a trigonometriei). Daca b\neq 0 si \cos x \neq 0 atunci egalitatea are loc pentru \frac{a}{b}=\frac{\sin x}{\cos x} \Leftrightarrow \frac{a}{b}=tg x \Leftrightarrow x= arctg\frac{a}{b}+k\pi,k\in\mathbb{Z}. Asadar avem egalitate pentru \{\begin{array} b=0,a=0 \\ b=0, x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z} \\ x=arctg \frac{a}{b}+k\pi,k\in\mathbb{Z},b\neq 0 \end{array}.

  2. npatrat

    sau:
    Din CBS avem:
    (asinx+bcosx)^2 \le (a^2+b^2)(sin^2x+cos^2x), si cum sin^2x+cos^2x=1, rezulta concluzia…

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Intr-adevar, cred ca este mult mai elegant asa. Felicitari!

    As aduce totusi o nota. La trecerea sub radical (a\sin x + b\cos x)^2\leq (a^2+b^2) devine |a\sin x + b \cos x|\leq \sqrt{a^2+b^2} \Leftrightarrow -1\leq a\sin x + b\cos x \leq 1.

Raspunde

Raspunde