Home/ Intrebari/Q 75286
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Cosmin_NTG
Pe: 2012-01-13T13:16:58+02:00 In: In:

Problema numere complexe.

Salut!
Am 2 probleme legate de numere complexe si nu reusesc sa le gasesc o rezolvare.
Prima ar fi o ecuatie de gradul II:
\begin{array}{l} iz^2 + \left( {3 + i} \right)z + 2 - 2i = 0 \\ \Delta = \left( {3 + i} \right)^2 - 4i\left( {2 - 2i} \right) = 9 + 6i - 1 - 8i - 8 = - 2i < 0 \\ z_{1,2} = \frac{{ - \left( {3 + i} \right) \pm i\sqrt { - 2i} }}{{2i}} \\ \end{array} \] De aici nu stiu cum sa continui. Trebuie sa imi dea -1+i si 2i.

A 2-a problema este una de geometrie.
Enunt: Demonstrati ca oricare ar fi z apartine multimii numerelor complexe diferite de zero, imaginile geometrice ale numerelor complexe

    \[ 0,\,z,\,\overline z ,\,z + \overline z \]

Acum calculez distanta dintre fiecare 2 puncte consecutive inclusiv distanta dintre primul si ultimul punct. Aceasta distanta trebuie sa fie aceeasi pentru ca punctele sa fie varfurile unui romb.
\begin{array}{l} 0 = 0 + 0i\,\,(A) \\ z = a + bi\,\,(B) \\ \overline z = a - bi\,\,\left( C \right) \\ z + \overline z = 2a + 0i\,\,\left( D \right) \\ \\ AB = \sqrt {\left( {a - 0} \right)^2 + \left( {b - 0} \right)^2 } = \sqrt {a^2 + b^2 } = \,|z| \\ BC = \sqrt {\left( {a - a} \right)^2 + \left( { - b - b} \right)^2 } = \sqrt {4b^2 } = 2b \\ \\ \end{array} \] Problema e ca AB nu este egal cu BC asa cum ar fi trebuit. Nu sunt sigur de acea formula. Adica nu stiu daca se aplica si la numere complexe.
Multumesc.
P.S. Problemele sunt luate dintr-o carte pentru bac Matematica pentru examenul de bacalaureat ; editura :clubul matematicienilor; autori: Marian Andronache, Dinu Serbanescu, Marius Perianu, Catalin Ciupala, Florian Dumitrel. Pagina 32 respectiv 33, exercitiile 9 h) respectiv 16.

Similare

14 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Cosmin_NTG wrote:
    \Delta = \left( {3 + i} \right)^2 - 4i\left( {2 - 2i} \right) = 9 + 6i - 1 - 8i - 8 = - 2i < 0 \]

    -2i<0. Inegalitatile cu numerele complexe nereale nu prea sunt valabile de obicei. Nu se poate spune ca i<0 sau i\geq 0 pentru ca numerele complexe nereale nu au semn.

    Solutiile unei ecuatii de gradul doi de forma ax^2+bx+c cu a,b,c\in\mathbb{C},a\neq 0 sunt date de: x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.

    In cazul problemei de fata avem \Delta=-2i. Trebuie sa gasim numarul complex z=p+qi,p,q\in\mathbb{R} astfel incat z^2=\Delta \Leftrightarrow p^2+2pq-q^2=-2i \Leftrightarrow \begin{array}p^2-q^2=0 \Leftrightarrow p^2=q^2 \\ 2pq = -2 \Leftrightarrow pq=-1 \end{array}. Trecand la module din prima relatie obtinem |p|^2=|q|^2 \Leftrightarrow |p|=|q| si trecand la module si in a doua obtinem |p||q|=|-1| \Leftrightarrow |p|^2=|1| \Rightarrow |p|= \Rightarrow p=\pm 1. Pentru p=1 \Rightarro q=-1. Pentru p=-1 \Rightarrow q=1. Asadar avem z=\sqrt{-2i}=\{1-i;-1+i\}. Deci radacinile ecuatiei sunt \frac{-3-i+1-i}{2i} si \frac{-3-i-1+i}{2i}, adica \frac{-2-2i}{2i}=\frac{-1-i}{i}=-1+i si 2i.

  2. Cosmin_NTG

    Multumesc mult PhantomR!

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu cea mai mare placere!:) Sper sa se inteleaga ceva.. eu stau rau cu explicatiile. O metoda mai „simpluta” de a rezolva acel radical era sa observati direct ca -2i=(1-i)^2.

    La 2 lipseste ceva din cerinta cred 🙂.

  5. Cosmin_NTG

    Da, asa e. Probleme ale sistemului meu (ale PC-ului). Cerinta era ca acele puncte sa fie varfurile unui romb. Problema e ca nu se verifica. AB si BC nu sunt egale, dupa cum vezi. Dar nu sunt sigur de acea formula. Adica nu sunt sigur ca se poate utiliza formula aceea la numere complexe.
    P.S. Ai fost anul trecut la olimpiada nationala (de matematica) de la Oradea?

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Iti las un mesaj privat 🙂.

  8. Cosmin_NTG

    Ai vreo idee de rezolvare la 2? I mean…poate este vreo formula de calculare a distantei….vreo formula legata de module? 🙄

  9. Anonymous

    Cosmin. Ordinea pe care ai ales-o nu e buna. Tb sa iei pct astfel.
    (0,0) (a,-b) (2a,0) (a,b) sau invers : (0,0) (a,b) (2a,0) (a,-b)

  10. Cosmin_NTG

    Da, am inteles. Eu am luat ordinea in care sunt date punctele in problema. Nu m-am gandit sa schimb ordinea. Multumesc!

  12. PhantomR
    expert (VI)

    Imi cer iertare ca nu am raspuns si in legatura cu problema doi in celalalt post. Cred ca domnul Blaugranas are dreptate.

    Eu cred ca merge acea formula. O alta idee:

    Folosind notatiile tale A(0),B(z),C(\bar z),D(z+\bar z) avem \v{CA}=\bar z - 0 = \bar z si \v{DB}=z+\bar z - z=\bar z. Deci avem \v{CA}=\v{DB} \Rightarrow ABCD paralelogram (dar cu notatiile cam „ciudate”, adica in plan va aparea probabil ceva de genul ABDC, in aceasta ordine). Cum paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente este romb mai ramane de aratat, de exemplu, ca AB=BD \Leftrightarrow |z-0|=|z+\bar z -z| \Leftrightarrow |z|=|\bar z|, adevarat. In concluzie patrulaterul este intr-adevar romb.

  13. Anonymous

    Nu e bine PhantomR. AC=BD sunt diagonale. => Tb sa arati ca AB=AD si nu prea sunt egale. Scuze mi s-a parut. E bine si asha.

  14. PhantomR
    expert (VI)

    Nu e nicio problema. Intr-adevar e cam ciudata (neobisnuita mai bine zis probabil) ordinea.

  16. Anonymous

    Nu e ciudat e un puzzle. Ce farmec avea prb daca toate pct erau date in ordinea corecta??? era pur si simplu de facut o verificare.

  17. Cosmin_NTG

    Dap, asa e. Fara dexteritate sau mai bine zis perspicacitate nu cred ca se putea rezolva problema asta. Anyway, multumesc mult amandurora pentru efort!

  18. PhantomR
    expert (VI)

    @Blaugranas: Da, cred ca aveti dreptate 🙂.

    @Cosmin_NTG: Frumos punct de vedere! Cu cea mai mare placere! Oricand!

Raspunde

Raspunde