Se da perimetrul unui triunghi ABC egal cu 14. Daca se deseneaza un segment CD cu D apartine AB astfel incat perimetrul tr. ACD este 11 iar perimetrul tr. BCD este 9, sa se afle lungimea laturii BD. Cat sunt si celelalte laturi?
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Se da perimetrul unui triunghi ABC egal cu 14. Daca se deseneaza un segment CD cu D apartine AB astfel incat perimetrul tr. ACD este 11 iar perimetrul tr. BCD este 9, sa se afle lungimea laturii BD. Cat sunt si celelalte laturi?
Fie a,b,c lungimile laturilor tri ABC si d=lungimea CD, x=lungimea AD si y=lungimea DB adica x+y=c
rezulta a+b+c=14 (1)
b+d+x=11 (2) si a+d+y=9 (3)
(2) + (3) avem b+d+x+a+d+y=11+9 rezulta b+2d+a+c=20 si folosind (1) rezulta d=3 rezulta b+x=11-3=8 (4) ; intr-un tri lungimea unei laturi este mai mica decat suma celorlalte 2 rezulta din (4) b=8-x si b<d+x=3+x rezulta 8-x<3+x rezulta 5<2x rezulta x>2 si in mod similar rezulta b>2 rezulta 2<x<6 si 2<b<6
x=3 rezulta b=5 ; x=4 rezulta b=4 ; x=5 rezulta b=3 deci avem seturile (b,x) : (3,5) , (4,4) , (5,3)
a+y=9-3=6 rezulta a=6-y si a<d+y=3+y adica 6-y<3+y adica y>1 si in mod asemanator rezulta a>1 rezulta seturile (a,y) : (2,4) , (3,3) (4,2)
continuarea:
Analizam fiecare caz (b,x) si (a,y) si verificam conditia de existenta a triunghiului:
b=3 , x=5 , a=2 , y=4 rezulta c=x+y=9 cum c > a+b rezulta nu este solutie
b=3 , x=5 , a=3 , y=3 rezulta c=5+3=8 cum c > a+b rezulta nu este solutie
b=3 , x=5 , a=4 , y=2 rezulta c=5+2=7 cum c = a+b rezulta nu este solutie
b=4 , x=4 , a=2 , y=4 rezulta c=4+4=8 cum c > a+b rezulta nu este solutie
b=4 , x=4 , a=3 , y=3 rezulta c=4+3=7 cum c = a+b rezulta nu este solutie
b=4 , x=4 , a=4 , y=2 rezulta c=4+2=6 cum c < a+b rezulta este solutie
b=5 , x=3 , a=2 , y=4 rezulta c=3+4=7 cum c = a+b rezulta nu este solutie
b=5 , x=3 , a=3 , y=3 rezulta c=3+3=6 cum c < a+b rezulta este solutie
b=5 , x=3 , a=4 , y=2 rezulta c=3+2=5 cum c < a+b rezulta este solutie
Rezulta tri ABC poate avea laturile (a,b,c) : (4,4,6) ; (3,5,6) ; (4,5,5)
De fapt este o eroare de redactare care a complicat lucrurile. Exercitiul este din categoria de familiarizare cu triunghiurile si este chiar la primul capitol:„Triunghiul:definitie, varfuri, laturi, unghiuri. Perimetrul triunghiului.„ Raspunsul corect este dat la finalul manualului.
(Admirabila si corecta demonstratia lui Bedrix!)
Se da perimetrul unui triunghi ABC egal cu 14. Daca se deseneaza un segment CD cu D apartine AB astfel incat perimetrul tr. ACD este 11 iar perimetrul tr. BCD este 9, sa se afle lungimea laturii CD (nu BD). Cat sunt si celelalte laturi?
P ∆ABC=14 => AB+BC+AC=14 (1)
P ∆ACD=11 => AC+CD+AD=11 (2)
P ∆BCD=9 => BC+CD+DB=9 (3)
AD=AB-DB (4)
DB=AB-AD (5)
––––––––––––––
P ∆ACD + P ∆BCD =(AD+DB)+CD+CD+AC+BC=11+9=>(AB+BC+AC)+2•CD=20=>14+2•CD=20=>CD=3
–––––––––––––––––––––––––––
In privinta celorlalte laturi, urmarim demonstratia lui Bedrix:
Din (2) rezulta: AC+CD+AD=11=>AC+3+AD=11=>AC+AD=8=>AC=8-AD (6)
• Intr-un triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma celorlalte doua!
AC<AD+CD => AC<AD+3; din (6) => 8-AD< AD+3 => 8-3< 2•AD=> 5< 2•AD=> AD>5/2=> AD>2,5
Aici se vede eroarea exercitiului pt ca rezolvarea lui Bedrix presupune ca │AD│є N* ori asta nu se specifica in Ipoteza.