Ok,stiu ca mai sunt topicuri destule pe tema asta,DAR vreau sa pricep pe ce am mai incercat si eu sa fac(mda,am facut nici jumate din exemplu in clasa cu inductie in divizibilitate si ne-a dat tema din ea…)
Degeaba ma zbat eu ca un peste pe uscat,daca in clasa nu prea facem exemple de rezolvare.[macar daca finaliza acel mic exemplu dar s-a oprit la P(k)-mersi profu’,pana acolo ma descurcam si eu fara alte explicatii]
O explicatie un pic mai detaliata(mda,stiu ca nu e limba si literatura romana,dar nah…sa priceapa si prostu’ de mine),va rog….de preferat dupa „partea” cu P(k),acolo e problema….nu prea am idee ce sa fac si de ce sa ma „leg” la P(k+1)-dupa inlocuit.
Ia uite aici o demonstratie eleganta, fara inductie
n^3+11n=n^3-n+12n=
=n(n^2-1)+12n=n(n-1)(n+1)+12n
n(n-1)(n+1) este produs de 3 numere naturale consecutive si deci se divide cu 2 si cu 3. Ca urmare se divide cu 6.
12n se divide cu 6.
Deci expresia din enunt este o suma de doi termeni divizibili cu 6 si ca urmare se divide cu 6
Vrei demonstratie prin inductie? O.K.
Deoarece n^3+11n=n^3-n+12n si 12n se divide cu 6 rezulta ca a arata ca n^3+11n se divide cu 6 este totuna cu a arata ca n^3-n se divide cu 6. Demonstram acest din urma fapt prin inductie
Verificarea.
Arati ca P(0) este adevarata
Presupunem adevarata P(k):k^3-k divizibil cu 6 si demontram
p(k+1): (k+1)^3-(k+1) divizibil cu 6
(k+1)^3-(k+1)=
=k^3+3k^2+3k+1-k-1=
=(k^3-k)+3k^2+3k=
=(k^3-k)+3k(k+1)
Din ipoteza de inductie k^3-k se divide cu 6.
Pe de alta parte k(k+1) este produs de doua numere naturale consecutive, deci este un numar par si ca urmare 3k(k+1) se divide cu 6 (produsul dintre 3 si un numar par da un numar care se divide cu 6).
Deci ultima expresie obtinuta pentru (k+1)^3-(k+1) este o suma de doi termeni divizibili cu 6 si deci se divide cu 6.
Da,mersi.Am inteles cat-de-cat si prin inductie,dar mi-e clar cum ai rezolvat-o prima data.Mai am oricum de lucrat multe exercitii,incerc sa imi dau seama si singur daca la scoala tot nu facem exercitii.[ne-a dat tema aceea,dar el tot asculta din ecuatii/inecuatii deoarece nivelul clasei este foarte scazut🙁 )