Home/ Intrebari/Q 74889
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Ludacristi
Pe: 2011-12-07T20:04:56+02:00 In: In:

Sistem

Să se determine m∈R astfel încât sistemul \left\{ \begin{array}{l} x^{\lg{x}}+y^{\lg{y}}=m+101 \\ \frac{\log_{y}{10}}{\log_{x}{10}}+\frac{\log_{x}{10}}{\log_{y}{10}}=\frac{2}{\lg{x}\lg{y}} \\ \end{array} \right. să admită soluţii reale.

Similare

9 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Din conditiile de existenta ale logaritmilor: x,y>0.
    Din conditiile de existenta ale fractiti din a doua relatie: \lg x \lg y \neq 0 \Leftrightarrow \begin{matrix} \lg x \neq 0 \Leftrightarrow x\neq 1 \\ \lg y \neq 0 \Leftrightarrow y\neq 1\end{matrix} \Rightarrow putem folosi formula: \log_ab=\frac{1}{\log_ba},adevarata [tex]\forall a,b\neq 1 , a,b>0

    EDIT: Din pacate nu mi-a iesit problema si am inchis fereastra din greseala. Frumoasa solutie, domnule bedrix!

  2. Ludacristi

    A doua ecuatie este echivalenta cu: (\lg{x})^{2}+(\lg{y})^{2}=2 .Ce fac in continuare?

  4. bedrix
    expert (VI)

    Notam x^lgx=a si y^lgy=b rezulta (lgx)^2 = lg a si (lgy)^2 = lg b , unde a>1 , b>1 (1)
    Sistemul devine
    a+b=m+101
    lg a +lg b=2 echivalent cu a*b=100 . Recunoastem relatiile lui Viete ; formezi ecuatia de gradul 2 : z^2-S*z+P=0, determinantul >=0 adica(m+101)^2-4*100>=0 rezulta m .

  5. Ludacristi

    Determinantul este strict mai mare ca 0,nu poate fi si egal? ❓
    Din relatia 1 \Rightarrow m>-101
    Din inecuatie \Rightarrow m\in (-\infty ;-121]\cup [-81;+\infty )
    \Rightarrow m\in [-81,+\infty ) .Mai trebuie puse alte conditii?

  6. bedrix
    expert (VI)

    Am rectificat . Cred ca trebuie introdusa conditia a>1 si b>1 ca sa aiba sens lg^2.

  8. DD
    profesor

    „bedrix” a facut f. bine , pana la discriminantul ec. ale carei radcini sunt ; „a” si „b”, dar se mai pune si conditia ca „a” si „b”sa fie mai mari sau egale cu 1, pentru ca ; (lg(x))^2=lg(a) si (lg(y))^2=lg(b). Deci , fie ec. ale carei radacini sunt ; „a” si „b” ; t^2-(m+101).t+100=0 . Ca radacinile acestei ec. sa fie mai mari sau egale cu 1 trebue ca ;
    -a]. discriminantul sa fie >=0,
    -b[. minimul expresiei ; f(t)=t^2-(m+101).t+100 sa corespunda lui tv=(m+101)/2>1.
    -c]. f(1)>=0 .
    -Din b]. Rezulta ; m>-99 si din c]. m<=0. In concluzie, m apartine intervalului ; [-81 , 0] . Intrebari?

  9. Ludacristi

    Da, de ce f(1)>=0?Daca x si y sunt diferiti de 1 nu rezulta ca si a si b sunt diferiti de 1?

  10. DD
    profesor

    Ca sa am radacini mai mari ca 1 sau egale cu 1 , trebue ca reprezentarea grafica a lui f(t), sa taie axa absciselor, la dreapta cotei 1, sau sa treaca prin 1. in cazul dat ,pentru t=1 ->f(1)>=0 si tv>1.
    La a doua obs. , ai dreptate . Am uitat ca x si y sunt baze de logaritmi . Conditia c]. va fi f(1)>0 si solutia finala ; „m” apartine intervalului [-81 , 0)

  12. Ludacristi

    Multumesc pentru ajutor 🙂 .

Raspunde

Raspunde