Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.Intr-un triunghi oarecare ABC, consideram punctele D,E,F,M astfel incat:
![\[ 2\overline {AD} = \overline {BC} ,\overline {BE} = \overline {EC} ,\overline {DF} = 3\overline {FE} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a0d4c6f9abbb755c62a4c0fe6221b2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
si
![\[ \overline {AM} = \overline {MB} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-696dd1c8e8e923ffcca60874b3ca72ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. (toti sunt vectori) Sa se arate ca punctele C,F,M sunt coliniare.
2.Fie n
![\[ \in \] \[ N^* \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7f77d1a017c3efc79be4e604a263cb8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Sa se arate ca are loc inegalitatea:
![\[ \sqrt {n + 1} - \sqrt n \ge \sqrt[3]{{n + 1}} - \sqrt[3]{n} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4429fc69ddce24aae84526dae1b68f5d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Relatia din enunt este echivalenta cu
(n+1)^(1/2)-(n+1)^(1/3)>_n^(1/2)-n^(1/3)
ceea ce este echivalent cu
((n+1)^(1/3))((n+1)^(1/6)-1)>_(n^(1/3))*(n^(1/6)-1) (1)
Fie functia f:N*->N definita prin
f(x)=(x^(1/3))*(x^(1/6)-1).
Cu aceasta, tinand seama de 1 relatia din enunt este echivalenta cu
f(n+1)>_f(n) (2)
Rezulta ca f(x)=g(x)*h(x) pentru orice x natural nenul, unde
g:N*->N;g(x)=x^(1/3) si h:N*->N; h(x)=x^(1/6)-1
Deoarece g si h sunt functii strict crescatoare care iau doar valori pozitive , ge nu se anuleaza iar h se anuleaza doar in cea mai mica valoare a domeniului de defintie rezulta ca f=g*h este functie strict crescatoare si tinand seama de relatia (2) problema este rezolvata.