Home/ Intrebari/Q 70852
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

RazzvY
Pe: 2010-11-15T18:44:11+02:00 In: In:

Radicali

x + \sqrt{1-x^2} sa apartina lui Z. Variantele care iti vin direct in minte -1 0 1, dar dupa un pic de stat mi`am dat seama ca si pt x = 3/5 radicalul ar fi rational, dar expresia nu e intreaga. Sunt acelea singurele raspunsuri? Exista o demonstratie mai „riguroasa”? (x apartine domeniului de existenta) Multumesc.
Am modificat, e x + \sqrt{1-x^2}. Asa nu mai e nevoie ca radicalul sa fie intreg.

Similare

5 raspunsuri

  1. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    RazzvY wrote: 1 + \sqrt{1-x^2} sa apartina lui Z. Variantele care iti vin direct in minte -1 0 1, dar dupa un pic de stat mi`am dat seama ca si pt x = 3/5 radicalul ar fi rational, dar expresia nu e intreaga. Sunt acelea singurele raspunsuri? Exista o demonstratie mai „riguroasa”? (x apartine domeniului de existenta) Multumesc.


    Pentru ca sqrt(1-(x^2)) sa aiba sens pe multimea numerelor reale este necesar ca x sa fie situat in intervalul [-1;1]
    Pentru ca expresia sa fie intreaga este necesar ca sqrt(1-(x^2)) sa fie natural si deci este necesar ca 1-(x^2) sa fie natural. Dar 1-(x^2) se afla in intervalul[0;1] si deci singurele valori natural pe care le poate lua sunt
    0 si 1
    1-x^2=0 este echivalent cu x apartine multimii {-1;1} si
    1-x^2=1 este echiovalent cu x=0
    Deci, daca exista, solutiile se afla in multimea {-1;0;1}
    Se verifica prin calcul ca -1;0;1 reprezinta solutii.
    Deci S={-1;0;1}

  2. RazzvY

    Am gresit enuntul, scz.

  4. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    RazzvY wrote: x + \sqrt{1-x^2} sa apartina lui Z. Variantele care iti vin direct in minte -1 0 1, dar dupa un pic de stat mi`am dat seama ca si pt x = 3/5 radicalul ar fi rational, dar expresia nu e intreaga. Sunt acelea singurele raspunsuri? Exista o demonstratie mai „riguroasa”? (x apartine domeniului de existenta) Multumesc.
    Am modificat, e x + \sqrt{1-x^2}. Asa nu mai e nevoie ca radicalul sa fie intreg.


    Pentru ca expresia de sub radical sa aiba sens este necesar ca 1-x^2>=0 si deci este necesar ca x sa fie in intervalul [-1;1].
    Deci exista a intre 0 si 2*pi astfel incat
    x=sin a
    Rezulta ca x+sqrt(1-x^2)=sin a +modul(cos a )
    Daca cos a >0 rezulta ca expresia din enunt este egala cu
    sin a +cos a =cos((pi/2)-a)+cos a=sqrt(2)*cos(a+(pi/4)) si deci este necesar sa avem
    cos(a+(pi/4))=1/sqrt(2) sau cos(a+(pi/4))=0 de unde rezulta a=… de unde rezulta x=…
    Daca cos a <0 rezulta x+sqrt(1-x^2)=sin a -cos a =
    =cos((pi/2)-a)-cos a=sqrt(2)sin(a-(pi/4)).
    Este necesar ca sin(a-(pi/4))=1/sqrt(2) sau sin(a-(pi/4))=0 de unde a=… de unde x=…

  5. RazzvY

    Foarte frumos, multumesc.

  6. RazzvY

    Este si o demonstratie care sa nu implice trigonometria? Sa stiu daca are rost sa ma chinui (si sa nu implice cunostinte „superioare”). Doar sa imi spuneti da sau nu. Multumesc.
    UPDATE: x+ \sqrt{1-x^2} = z unde z apartine lui Z. Trecem x-ul dincolo, ridicam la patrat si calculam delta. Din delta >=0 rezulta ca z apartine [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]. Si luam doar solutiile intregi. E corect?

Raspunde

Raspunde