Buna seara.Va rog sa ma ajutati sa rezolv urmatoarea problema:
Pentru numerotarea paginilor unei carti s-au folosit 777 de cifre.Cate pagini are cartea?
Am aflat :1 la 10 sunt 11 cifre(9+2)
11 la 20 sunt 20 cifre(10×2)
21 la 90 sunt 140 cifre(70×2)
91 la 100 sunt 21 cifre(10×2+1)
101la 110 sunt 30 cifre(10×3)
111la 290 sunt540 cifre(18x10x3)
…………….
762 cifre
777-762=15 cifre
291la 295 sunt 15 cifre(5×3)
deci cartea are 295 pagini. dar nu cred ca asta este rezolvarea.
Va rog sa ma ajutati .MULTUMESC.
Rezolvarea este corecta. Ceea ce fac eu nu este decat o redactare mai eleganta prin punere in ecuatie.
Problema este a determina de cate numere consecutive avem nevoie pentru ca numarul format prin alaturarea succesiva a acestor numere sa aiba 777 de cifre.
n=12345678910111213….
Daca luam numai toate numerele consecutive cu o cifra avem 9 cifre.
Daca luam numai toate numerele consecutive care au cel mult 2 cifre avem 9+2*90=189 cifre.
daca luam numai numerele care au cel putin trei cifre avem
9+2*90+3*900>777,deci este prea mult. Ca urmare nu trebuie sa luam decat o parte din numerele cu 3 cifre.
Fie x numarul de numere cu trei cifre necesar a fi luate
avem ca 189+3*x=777. Aceasta ecuatie are solutia x=196.
Deci in t6otal avem nevoie de 196+90+9(numerele luate de 3 cifre +numerele de cate doua cifre +numerele de cate o cifra)=295 numere(file).
Dar daca avem un numar n oarecare in loc de 777?
Mai general, numarul de numere cu m cifre este egal cu 10^m-10^(m-1).
Atunci daca luam numarul format din alaturarea numerelor consecutive care au cel mult m cifre acesta are un numar de cifre egal cu
S(m)=10^1-10^0+2*(10^2-10^1)+3*(10^3-10^2)+…+
+m*(10^m-10^(m-1))=
=m*(10^m)-(1+10^1+10^2+…+10^(m-1))=
=(m*(10^m))-((10^m)-1)/9=((9*m-1)*(10^m)+1)/9.
In general, pentru a determina valoarea la care trebui sa ne oprim cu alaturarea de numere consecutive pentru ca numarul obtinut prin alaturare sa aiba n cifre, procedam in felul urmator. Daca exista m astfel incat n=S(m) inseamna ca trebuie sa ne oprim dupa scrierea cifrelor numarului (10^m)-1. Daca nu exista un astfel de m cautam valoarea lui m pentru care S(m)<n<S(m+1) (luam toate numerele cu cel mult m cifre si o parte din numerele cu (m+1) cifre ) si avem ecuatia
S(m)+(m+1)*x=n unde x este numarul de numere cu (m+1) cifre ce trebuie luat. Daca ecuatia are solutii naturale atunci problema are solutie iar rezultatul este (10^m)-1+x
M-ati lasat fara cuvinte; nu prea am inteles explicatia dumneavoastra,dar va multumesc mult si ma bucur ca totusi rezolvarea mea este buna.
O seara buna in continuare.
Hai sa fiu mai explicit: Daca iau in considerare doar numerele cu 1 cifra. Cate cifre are numarul? Pai 123456789 , adica am 9 cifre.
Daca iau in considerare numerele cu o cifra si cu doua cifre.
12345678910111213…9899
Am odata cate 1 cifra de la fiecare numar de cate o cifra-deci cele 9 cifre diainte.
Cate numere cu 2 cifre exista? de la 10 la 99 sunt 99-10+1=90 numere.
Cu cate cifre contribuie aceste 90 de numere la numarul de cifre al numarului cautat? Cu 2*90=180.
Deci daca iau numerele cu o cifra +numerele cu doua cifre am in total 9+180=189 cifre. Sunt inca sub 777
Cate numere cu 3 cifre exista ? De4 la 100 la 999 sunt 999-100+1=900 numere . Daca am lua toate numerele de 3 cifre am avea pe langa cele 189 cifre dinainte alte 3*900 cifre in plus si as depasi 777. Deci nu trebuie luate decat o parte din numerele cu 3 cifre. Intrebarea este cate . Daca notam cu x numarul de numere de trei cifre care trebuie luate, acestea mai adauga pe langa cele 189 cifre dnainte alte 3*x cifre. In total trebuie sa fie 777 cifre. Deci 189+3*x=777 de unde rezulta x=196. Deci pentru a avea 777 de cifre trebuie sa luam in plus pe langa numerele cu o cifra si numerele cu 2 cifre inca 196 numere cu trei cifre. Deci in total 189+96=295.
sa ne gandim putin. daca un numar are m cifre inseamna ca este cuprins intre 10^(m-1) si (10^m)-1 (inclusiv capetele). De la 10^(m-1) la
(10^m)-1 sunt (10^m)-1-10^(m-1)+1=10^m-10^(m-1) numere naturale.
Deci pentru orice m>0 natural exista 10^m-10^(m-1) numere cu m cifre.
De exemplu , pentru m=1 exista 10^1-10^0=9 numere cu 1 cifra.
Pentru m=2 exista 10^2-10^1=90 numere cu 2 cifre. Pentru m=3 exista
10^3-10^2=900 de numere cu 3 cifre etc. Restul intr-adevar este cam complicat pentru clasa a V-a. Uita-te peste ani la generalizare. Sigur o vei intelege