Salut!
Se dau urmatoarele exercitii- sunt pentru clasa a 6-a pregatire la olimpiada, nu avem rezultat deci nu
avem posibilitatea verificarii.
aratati ca:
63^n + 7^n+1 * 3^2n+1 – 21^n * 3^n+2 divizibil cu 13
3^n+1 * 5^n + 3^n * 5^n+2 + 6 * 3^n * 5^n divizibil cu 17
in cate zerouri se termina nr.?
1 * 2 * 3 * 4 * 5
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * … * 14
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * … * 25
astept modalitate de rezolvare, formule, etc. cat mai detaliat ptr. cazul in care copilul nu a rezolvat
corect sa-i pot arata de ce.
va multumesc!
63^n+7^(n+1)*3^(2n+1)-21^n*3^(n+2)=
=63^n+(7^n)*7*(9^n)*3-(63^n)*9=
=63^n+(63^n)*21-(63^n)*9=(63^n)*(1+21-9)=(63^n)*13
Te las pe tine sa-l rezolvi pe al doilea in mod asemanator (vezi ca dupa niste prelucrari poti sa dai factor comun pe 15^n)
Exponentul la care se gaseste un factor prim p in descompunerea produsului 1*2*3*…*n=n! este
[n/p]+[n/(p^2)]+[n/(p^3)]+…+[n/(p^k)] unde prin [x] se intelege partea intreaga a lui x. daca a si b sunt doua numere naturale, b nenul atunci [a/b] este chiar catul impartirii lui a la b.
10=2*5 si deci exponentul la care se gaseste 10 in descompunerea unui numar (=nr. de zerouri de la coada) este minimul dintre exponentul la care se gaseste 2 in descompunere si exponentul la care se gaseste 5 in descompunere.
Exponentul la care se gaseste 2 in 1*2*3*4*5 este
[5/2]+[5/4]=2+1=3. Exponentul la care se gaseste 5 este 1 . Deci avem un singur zerou la coada.
Fata de 5! in 9! nu apar in plus factori multiplii de 5 deci tot un singur zerou avem la coada . Daca nu pricepe copilul acest argument atunci facem din nou cu formula. Exponentul la care se gaseste 2 in 9! este
[9/2]+[9/4]=4=2=6. 5 se gaseste tot la puterea 1. Deci un singur zerou la coada.
Pentru 14! avem in produsul de la 1 la 14 doi multiplii de 5 care nu sunt si multiplii de 25 deci 5 apare in descompunere la puterea 2
Se vede ca avem mai multi multiplii de 2. Deci 10 apare in acest caz la putrrea maxima 2. Deci doua zerouri la coada.
Pentru 25! facem cu formula.
Exponentul la care se gaseste 2 este
[25/2]+[25/4]+[25/8]+[25/16]=12+6+3+1=22
Exponentul la care se gaseste 5 este [25/5]+[25/25]=6 deci 5 apare la puterea 6. Deci zece apare la puterea maxima 6. 6 zerouri in coada.
Daca vrem sa evitam formula observam ca de la 1 la 25 exista 5 multiplii de 5 dintre care numai unul este multiplu de 25 si niciunul multiplu de 125. Deci avem exponentul la care apare 5 cu unul in plus fata de numarul de multiplii de 5 adica6. Aratam ca exista cel putin 6 multiplii de 2-de fapt avand in vedere ca-i avem pe 2;4; si ;8 a iesit deja 2^6