Home/ Intrebari/Q 67824
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_93
Pe: 2009-08-14T09:49:59+03:00 In: In:

mate>algebra

O egalitate pe care nu stiu de unde sa o iau. Ma poate ajuta cineva… va rog…, multumesc!
(1- \frac{4}{{1^2}})(1- \frac{4}{{3^2}})...(1- \frac{4}{{(2n-1)^2}})= \frac{1 + 2n}{{1 - 2n}}
Si o alta chestie interesanta care ma surprinde si nu imi vine nici o idee cum sa o rezolv:
Sa se demonstreze folosind inductia matematica:
n^7 - n se divide cu n, pentru orice n apartine multimii numerelor naturale nenule.

Similare

24 raspunsuri

  1. ali
    maestru (V)

    Problema 1

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[
	\begin{array}{l}
	 (P_n )]
	
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.
  2. ali
    maestru (V)

    andrei_93 wrote: Sa se demonstreze:
    n^7 - n se divide cu n, pentru orice n apartine multimii numerelor naturale nenule.


    Problema 2
    Problema este extraordinar de simpla 😀 se poate si fara inductie
    (mai complex):

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[
	\begin{array}{l}
	 (p_n )]
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.
  4. andrei_93

    Salutare! Am dat peste un exercitiu pe care nu il pot rezolva complet, sau cel putin nu imi da.
    Exercitiul zice asa: sa se demonstreze:
    2^3n - 7n - 1 /49
    Eu am facut prin metoda inductiei matematice si am zis:
    Etapa de verificare:
    P(1) = 8-7-1= 0/49 A
    P(2) = 64-14-1 = 49/49 A
    Etapa de demonstratie:
    Presupun ca P(k) adevarat: P(k) = 2^3k - 7k - 1=Multiplu de 49
    Daca P(k) adevarat rezulta ca si P(k+1) adevarat
    P(k+1) = 2^3n+3 - 7k + 7 -1 8(M49 + 7k +1) - 7k +7 -1= 8M49 + 56k + 8 - 7k + 7 - 1= 8M49 + 49k + 14
    De aici nu mai stiu ce sa fac ca 14 nu e multiplu de 49 dar are un divizor comun cu 49.
    Multumesc anticipat.
    n si k care sunt dupa putere apartin tot puterii, nu stiu cum sa scriu litere la putere. M49 semnifica multiplu de 49.

  5. ali
    maestru (V)

    Exercitiul este:

        <br/> \[<br/> \begin{array}{l}<br/> 23n - 7n - 1 \vdots 49 \\ <br/> Sau: \\ <br/> \underbrace 8_{ = 2^3 }n - 7n - 1 \vdots 49 \\ <br/> sau: \\ <br/> 2n^3 - 7n - 1 \vdots 49 \\ <br/> Sau{\rm nici una nici alta <E>:)</E>} \\ <br/> \end{array}<br/> \]

  6. andrei_93

    nici una nici alta . Exercitiul este 2 la puterea 3n – 7n – 1 divide 49.

  8. ali
    maestru (V)

    Rezolvare:

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[
	\begin{array}{l}
	 {\rm p(n)]
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 10 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.
  9. andrei_93

    aha ok. am inteles.Multumesc!

  10. andrei_93

    Cum as putea sa rozelv inegalitatile acestea? Eu m-am gandit prin inductie dar nu imi dau seama de nimic:

    Problema 1: \frac{1}{{2^2}} + \frac{1}{{3^2}} + ... + \frac{1}{{n^2}} < \frac{n-1}{{n}} , n>=2

    Problema 2: \frac{1}{{3^2}} + \frac{1}{{5^2}} + ... + \frac{1}{{(2n+1)^2}} < \frac{1}{{4}} , n>=1

    Multumesc!

  12. ali
    maestru (V)

    andrei_93 wrote: Problema 1:


    Rezolvare:
    Pornim de la inegalitatea :

        \[ k^2 > k^2 - k = k(k - 1) \Leftrightarrow \frac{1}{{k^2 }} < \frac{1}{{k(k - 1)}} \]

    Dami valori lui k=2,3,…,n si obtinem:

        \[ \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k^2 }}} < \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k(k - 1)}}} \]

    Totusi:

        \[ \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k(k - 1)}}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - ... - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{{n - 1}}{n} \]

    S-a Folosit egalitatea:

        \[ \frac{1}{{k(k - 1)}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k} \]

    Deci:

        \[ \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k^2 }}} < \frac{{n - 1}}{n} \]

    ! Deschide topicuri noi in viitor

  13. ali
    maestru (V)

    Problema 2 este scrisa corect? Nu cumva suma<1/4k sau Suma<1/3 ?

  14. andrei_93

    Problema 2 este scrisa corect, am verificat inca o data.

  16. ali
    maestru (V)

    Am fost neatent o clipa 🙂 , exercitiul tau s-a rezolvat http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=5772

  17. mlaura93

    Hei! Am si eu o mica problema..legata de o problema la mate 😀
    Se da termenul general Xn=sqrt(n+1)-sqrt(n) si se cere monotonia sirului, ptr n mai mare sau egal cu 1. Am incercat prin doua moduri: prin scaderea lui Xn din X(n+1) si prin impartirea lui X(n+1) la Xn, insa nu am reusit sa aflu care este mai mare. Daca stiti vreo alta metoda pentru a afla daca sirul este crescator sau descrescator.. Sau poate mi-a scapat ceva, dar m-am verificat ce mai multe ori:(

    Help me pls:((!

  18. ali
    maestru (V)

    Rezolvare::

        \[ \begin{array}{l} \frac{{x_{(n + 1)} }}{{x_{\left( n \right)} }} = \frac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }} \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \\ = \frac{{\sqrt {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} - \sqrt {\left( {n + 1} \right)^2 } + \sqrt {n(n + 2)} - \sqrt {n(n + 1)} }}{{n + 1 - n}} = \\ = \sqrt {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} - \sqrt {\left( {n + 1} \right)^2 } + \sqrt {n(n + 2)} - \sqrt {n(n + 1)} > 0 \\ \end{array} \]

    Concluzie:…. ❓
    In viitor, deschide un topic nou.

  20. mlaura93

    asta inseamna ca cele doua Xn si X(n+1) au acelasi semn, ceea ce oricum era adevarat din ipoteza…impartirea lor fiind mai mare ca zero. prin impartire verifici daca fractia e subunitara sau supra unitara, adica daca Xn mai mic sau mai mare decat X(n+1)

    altceva?pls:( asta cu mai mare ca zero merge ptr diferenta..ptr impartire merge doar mai mic sau mai mare ca 1

  21. ali
    maestru (V)

    Problema cere Monotoia sirului, iar daca x(n+1)>x(n) atunci sirul este strictcrescator, gresesc cumva?

  22. mlaura93

    nu gresesti. dar nu stiu cum sa arat. tu ai facut impartire, nu scadere, iar prin impartire urmaresti sa-ti dea ceva mai mare, sau mai mic ca unu ca sa vezi care este mai mare

    nu stiu cum sa fac:(

  24. ali
    maestru (V)

    Defapt sirul tau este marginit

        \[ x_n \in \left( {0,1} \right) \]

    Scuza-ma, am grabit concluzia 😳

  25. mlaura93

    da, dar poate fi si monoton, nu? doar ca nu stiu cum sa arat.. nu imi iese in niciun fel..🙁 stai linistit ca si eu facusem aceeasi greseala:D

  26. ali
    maestru (V)

    Un sir marginit superior este un sir descresctor.

  28. mlaura93

    de asta nu stiam. bun:)) si cum demonstrez ca e marginit superior inafara de faptul ca se vede?:)))

  29. ali
    maestru (V)

    Ti-am dat o indicatie:

        \[ \begin{array}{l} x_n \in \left( {0,1} \right) \Leftrightarrow 0 < \sqrt {n + 1} - \sqrt n < 1 \Leftrightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {n + 1} - \sqrt n > 0 \\ \sqrt {n + 1} - \sqrt n < 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]

    Prima relatie fiind evidenta deoarece n este din N, iar pentru a 2 relatie procedam:

        \[ \begin{array}{l} \sqrt {n + 1} - \sqrt n < 1 \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} < 1 + \sqrt n {\rm }\left( {{\rm ridicam la a doua}} \right) \\ n + 1 < 1 + 2\sqrt n + n \Leftrightarrow 2\sqrt n > 0 \\ \end{array} \]

    ultima relatie fiind evidente

        \[ \forall n \in {\rm N}^{\rm *} \]

  30. mlaura93

    ms mult:)

  32. mlaura93

    o sa ma uit mai atent:) adev e ca nu ma descurcam deloc. ms mult:)

Raspunde

Raspunde