Home/ Intrebari/Q 66971
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

e.antib
Pe: 2009-01-09T10:42:46+02:00 In: In:

va rog, o inegalitate

am ex asta

demonstrati ca oricare ar fi numerele a, b, x, y>0 are loc inegalitatea:

    \[(a^2 x^2 + 3xb + 4) \cdot (a^2 y^2 + 3yb + 4) \ge xy(4a + 3b)^2 \]

am incercat asa:

    \[\begin{array}{l} a^4 x^2 y^2 + 3a^2 bx^2 y + 4a^2 x^2 + 3a^2 bxy^2 + 9b^2 xy + 12bx + 4a^2 y^2 + 12by + 16 \ge 16a^2 xy + 24abxy + 9b^2 xy \\ a^4 x^2 y^2 + 3a^2 bx^2 y + 4a^2 x^2 + 3a^2 bxy^2 + 12bx + 4a^2 y^2 + 12by + 16 \ge 16a^2 xy + 24abxy \\ a^4 x^2 y^2 + 3a^2 bx^2 y + 4a^2 x^2 + 3a^2 bxy^2 + 12bx + 4a^2 y^2 + 12by + 16 - 16a^2 xy - 24abxy \ge 0 \\ \end{array}\]

…
am incercat sa factori comuni, sa grupez, dar nu ajung la nimic
ma puteti ajuta voi, va rog?
multumesc

Similare

1 raspuns

  1. gigi.becali

    Folosesti http://ro.wikipedia.org/wiki/Inegalitatea_Cauchy-Schwarz: \sum{a_i^2}\sum{b_i^2} \geq \left( \sum{a_i \cdot b_i} \right) ^2 (1) si inegalitatea dintre media aritmetica si
    media geometrica: a + b \geq 2 \sqrt {ab} (2), pentru orice a_i,b_i,a,b >0.

    Acum faci asa:

    P = (a^2x^2 + 3xb + 4) \cdot (a^2y^2 + 3yb + 4) = (a^2x^2 + 3xb + 4) \cdot (4 + 3yb + a^2y^2) si conform (1) obtii ca:
    P \geq (2ax + 3\sqrt{xy}b + 2ay)^2 = (2a(x+y) + 3\sqrt{xy}b)^2 si din inegalitatea mediilor (2) obtii ca:

    P \geq (2a \cdot 2\sqrt{xy} + 3b\sqrt{xy})^2 = xy(4a+3b)^2

    (q.e.d.)

Raspunde

Raspunde