Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Vreau sa va cer si eu ajutorul.Azi la concurs ne-a dat o problema la geometrie si nu am reusit sa ii dau de cap.
Fie un patrulater ABCD si M,N,P,Q mijloacele laturilor AB,BC,CD respectiv AD. Stiind ca 
si 
aratati ca 
daca si numai daca 
Daca puteti va rog mult sa ma ajutati.
Se stie (si se poate demonstra usor) ca mijloacele laturilor oricarui patrulater formeaza un paralelogram. Rezulta ca G este mijlocul segmentului MP.
Mai intai vom demonstra ca daca OB=OD atunci G apartine dreptei AC.
Fie E intersectia lui NP cu AC.
Folosind ipoteza OB=OD, rezulta usor ca NE=EP.
Avem astfel ca E = mijlocul lui EP. Cum si G = mijlocul lui MP, rezulta ca EG este linie mijlocie in triunghiul PMN, deci EG||MN. (1)
Dar AC||MN (usor), si cum dreapta AC este aceeasi cu EA, inseamna ca avem EA||MN (2).
Cum prin punctul E nu exista decat o singura paralela la dreapta MN, din relatiile (1) si (2) rezulta ca G apartine lui EA, deci G apartine lui AC.
Apoi, vom demonstra si implicatia inversa:
Daca G apartine dreptei AC, atunci OB=OD.
Demonstratia este oarecum asemanatoare.
Fie E acelasi ca mai inainte, punctul de intersectie al lui NP cu AC.
Cum G apartine dreptei AC, rezulta ca EG||MN.
Dar G este mijloocul lui MP si astfel EG este linie mijlocie in triunghiul PMN.
Rezulta ca E este mijlocul lui NP, adica NE=EP.
De aici obtinem imediat ca OB=OD daca tinem seama ca BO=2NE si OD=2EP (NE si EP linii mijlocii in triunghiurile CBO si COD).
Demonstratia este incheiata.
Multumesc mult de tot!!!!