Home/ Intrebari/Q 93265
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alind
Pe: 2022-10-14T22:12:04+03:00 In: In:

Vectori 2

Vectori 2

Attached files

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru relația între vectorii \vec{DB},\;\vec{DC} plecăm de la raportul segmentelor DB/DC. Valoarea lui este dată de teorema bisectoarei în triunghiul ABC: DB/DC=AB/AC=c/b. Raportul segmentelor orientate respective trebuie să aibă o valoare negativă din cauza sensurilor diferite:
    \frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=-\frac{c}{b}\Rightarrow b\vec{DB}+c\vec{DC}=\vec{0}.
    Înlocuim aici D cu A: b\vec{AB}+c\vec{AC}=(b+c)\vec{AD}, de unde se obține punctul a).
    Pentru b) să observăm că relația dintre vectorii coliniari și de același sens AI și AD este: \vec{AI}=\frac{AI}{AD}\cdot \vec{AD}.
    Pentru variație, să aflăm expresia raportului AI/AD în funcție de a, b, c din teorema lui Menelaos pentru triunghiul ADC și transversala B-I-E. \frac{AI}{ID}\cdot \frac{DB}{BC}\cdot \frac{CE}{EA}=1
    [CE] este o a doua bisectoare a triunghiului ABC, așa că CE/EA=BC/BA=a/c.
    De la DB/DC=c/b, prin proporții derivate (clasa a 6-a): \frac{DB}{DB+DC}=\frac{c}{b+c},\;\frac{DB}{BC}=\frac{c}{b+c}
    Acum \frac{AI}{ID}\cdot \frac{c}{b+c}\cdot \frac{a}{c}=1\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}\Rightarrow \frac{AI}{AI+ID}=\frac{b+c}{b+c+a}\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{b+c}{a+b+c}
    In concluzie: \vec{AI}=\frac{b+c}{a+b+c}\cdot \frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{b+c}=\frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{a+b+c}.

Raspunde

Raspunde