Home/ Intrebari/Q 93177
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2020-06-02T22:45:38+03:00 In: In:

Functii surjective

Sa se arate ca functia :
f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N},f\left ( n \right )=\left [ n\sqrt{3} \right ]-\left [ n\sqrt{2} \right ]
este surjectiva.

Similare

8 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Mai întâi voi numerota câteva observații.
    1. A demonstra că funcția noastră este surjectivă înseamnă a arăta că toate numerele naturale sunt valori ale ei.
    2. Orice interval de lungime l mai mare ca 1, dar mai mică decât 2 conține cel puțin un număr întreg și cel mult două astfel de numere.
    3. Fie numerele naturale k și m definite astfel: k=[n\sqrt{2}],\;k+m=[n\sqrt{3}]. Atunci f(n)=m.
    4. Pe axa numerelor avem următoarea situare:
    k<n\sqrt{2}<k+1<k+2<...<k+m<n\sqrt{3}<k+m+1<k+m+2<...,
    deci între numerele reale n\sqrt{2} și n\sqrt{3} se află exact m numere naturale.
    Putem redefini funcția noastră astfel: f(n)= numărul numerelor naturale conținute de intervalul I_n=(n\sqrt{2};n\sqrt{3}).
    5. Lungimea acestui interval, n(\sqrt{3}-\sqrt{2}), crește nemărginit odată cu n, deci și valorile funcției f cresc nemărginit ( funcția noastră nu este mărginită superior).
    6. Să comparăm intervalele I_n=(n\sqrt{2};n\sqrt{3})\;si\;I_{n+1}=((n+1)\sqrt{2};(n+1)\sqrt{3}). Față de primul interval, cel de al doilea pierde unul sau două numere naturale din intervalul (n\sqrt{2};(n+1)\sqrt{2}),
    dar câștigă unul sau două numere naturale din intervalul (n\sqrt{3};(n+1)\sqrt{3}), căci cele două intervale au lungimile \sqrt{2};\sqrt{3} și se aplică 2.
    Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1.

    Fie m o valoare a funcției si n – cel mai mare număr natural a. î. f(n)=m (din observația 5. există un asemenea n).
    Datorită acestei alegeri, nu putem avea f(n+1)=m sau f(n+1)=m-1, ci doar f(n+1)=m+1. Cu alte cuvinte, dacă numărul natural m este o valoare, atunci și m+1 este valoare a funcției. Cum și 0 este valoare, (f(0)=f(1)=0), am demonstrat, prin inducție, că toate numerele naturale sunt valori.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    N-am intalnit in viata mea o astfel de abordare… credeti ca exista o demonstratie mai obisnuita sa zic asa….o solutie de gazeta?

  4. ghioknt
    profesor

    Probanil că există, dar mie nu mi s-a arătat! A trebuit să aștept ca Sf. Duh să pogoare și asupra mea ca să pot și eu, nevrednicul, să arăt altora o cale 😀
    Oricum, problema este frumoasă, ar fi nimerit ca Felixx să ne spună povestea ei. Iar dacă cineva găsește vreo soluție mai acătării, să ne delecteze cu ea 💡

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Am postat o pe facebook pe comunitatea profesorilor de mate, daca primesc ceva va anunt!

  6. grapefruit
    maestru (V)

    Făcui din zdrenţe muguri şi coroane.
    Veninul strâns l-am preschimbat în miere,
    Lăsând întreaga dulcea lui putere

    Descrie foarte bine aceasta solutie!

  8. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc mult pentru aceasta solutie cu o multime de detalii.

  9. grapefruit
    maestru (V)

    Domnule profesor ghioknt, am studiat solutia si nu imi este clar asta „Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1”. Nu imi este clar de ce din compararea celor 2 intervale si facand observatia cu castig/pierdere din termeni deducem posibilitatea aceea. Puteti fi mai explicit/mai in detaliu?

    Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.

  10. ghioknt
    profesor

    grapefruit post_id=113573 time=1592657284 user_id=18963 wrote:

    Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.

    Uite că n-a fost nevoie să fiu mai explicit. Exact acestea sunt cele patru situații posibile, iar tu le-ai intuit perfect 😀

Raspunde

Raspunde