Home/ Intrebari/Q 93116
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2019-07-11T16:12:46+03:00 In: In:

Siruri

x_0=y_0=1
x_(n+1)=x_n + y_n*sqrt(3)
y_(n+1)=y_n – x_n *sqrt (3)

x_2019 +y_2019=?

Similare

5 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Nu este o rezolvare, doar niste ganduri asternute pe forum, la cald, fara a avea rezolvarea completa.
    Avand in vedere ca apare un \sqrt{3}, primul gand zboara la functii trigonometrice. Mai mult, avem inmultire si adunare, pare ca solutia ne conduce spre formule de cos si sin. Mai avem de rezolvat problema cu coeficientii.
    Hai sa vedem cum incepem. Tre sa exprimam x_0 si y_0 in functie de sin si cos.

    Putem alege: x_0=\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) si y_0=\sqrt{4}\cos(\frac{\pi}{4})
    Atunci x_1=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cdot\frac{1}{2}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}). Ne-ar prinde foarte bine daca am reusi sa-l exprimam tot timpul pe x_n in functie de sin(a) si y_n in functie de cos(a).

    x_1=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cdot\cos\frac{\pi}{3}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{6}+\cos(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})
    Absolut la fel se intampla cu y_1.
    Forma generala pare sa fie
    x_n=2^n\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{3}) \\ y_n=2^n\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{3})

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Foarte frumoasa rezolvarea

  4. ghioknt
    profesor

    Relațiile de recurență se pot scrie și matriceal astfel:
    \left ( \begin{matrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{matrix}\right )=2A\left ( \frac{\pi }{3} \right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ),\;A(t)=\left ( \begin{matrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t \end{matrix} \right ).
    \left ( \begin{matrix} x_n\\y_n \end{matrix}\right )=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )=2^nA\left (\frac{n\pi}{3}\right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ).
    Obținem x_n+y_n=2^{n+1}\cos \frac{n\pi}{3}, iar pentru n=2019: x_{2019}+y_{2019}=2^{2020}\cos 673\pi =-2^{2020}.

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Cum ati obtinut matricea x_n si y_n?

  6. ghioknt
    profesor

    Egalitatea \left ( \begin{matrix} x_n\\y_n \end{matrix}\right )=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )
    se obține prin același raționament formal prin care, la progresii geometrice, din b_{n+1}=qb_n se obține b_n=q^nb_0.
    Mai departe, se știe că A(t)\cdot A(u)=A(t+u), deci (A(t))^n=A(nt).

Raspunde

Raspunde