Home/ Intrebari/Q 92646
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bjarn3
Pe: 2018-04-22T11:48:30+03:00 In: In:

limita

\text{Calculati :}\displaystyle\limit\lim_{n\to \infty} (\int_{0}^{\frac{pi}{4}} \dfrac{x}{\cos x} dx )^n

Similare

3 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Limita este +\infty. Indicație: ce soluție are pe intervalul [0,\frac{\pi}{4}] inecuația \frac{x}{\cos x}>1?

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Mie imi da 0 😀.

    NOTA: Am trisat folosind Wolfram Alpha care mi-a aratat ca integrala e <1, apoi am incercat sa demonstrez.

    Fie I integrala din problema. Observam ca functia de integrat e \geq 0, deci I\geq 0.

    Aplicand Inegalitatea Cauchy-Schwarz pentru integrale obtinem: I^2 = (\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\cdot \frac{1}{\cos x})^2 \leq \int x^2 \int \frac{1}{\cos^2x} = \frac{\pi^3}{4^3\cdot 3} \cdot \rm{tg}\frac{\pi}{4}. Observand ca (\frac{\pi}{4})^3<1 si \rm{tg} \frac{\pi}{4} = 1, obtinem ca I^2<\frac{1}{3}<1 \stackrel{I\geq 0}{\Rightarrow} I < 1.

    Astfel, \lim_{n\to\infty}I^n = 0.

  4. gigelmarga
    profesor

    Bjarn3 post_id=111157 time=1524397710 user_id=22668 wrote:
    \text{Calculati :}\displaystyle\limit\lim_{n\to \infty} (\int_{0}^{\frac{pi}{4}} \dfrac{x}{\cos x} dx )^n

    Evident, am confundat cu \displaystyle\limit\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left( \dfrac{x}{\cos x}\right)^n dx .

Raspunde

Raspunde