Home/ Intrebari/Q 92623
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Kierkegaard
Pe: 2018-04-09T20:17:46+03:00 In: In:

Derivabilitatea functiei

Se considera functiile f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, astfel incat g(x)=[x]\cdot f(x). Sa se demonstreze ca functia g este derivabila in punctul x_{0} \in \mathbb{Z}, daca si numai daca f(x_{0})=f{}'(x_{0})= 0

Similare

6 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Nu inteleg ce-mi scapa, dar conditia f(x0)=0 nu pare a fi necesara. De exemplu pentru g(x)=[x]*cos(x), nu vad ce nu ar avea derivata in 0. Evident, putem extinde functia data astfel incat sa fie derivabila peste R.

  2. gigelmarga
    profesor

    Kierkegaard post_id=111052 time=1523305066 user_id=22775 wrote:
    Se considera functiile f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, astfel incat g(x)=[x]\cdot f(x). Sa se demonstreze ca functia g este derivabila in punctul x_{0} \in \mathbb{Z}, daca si numai daca f(x_{0})=f{}'(x_{0})= 0

    Într-o vecinătate a punctului x_0 avem
    g(x)= \begin{cases} (x_0-1)f(x), \,x<x_0\\ x_0f(x), \,\,x\ge x_0 \end{cases}

    Punând condiția ca g să fie continuă în x_0 deducem (x_0-1)f(x_0)=x_0f(x_0), de unde f(x_0)=0.

    Ce rezultă dacă punem condiția de derivabilitate a funcției g în x_0?

    L.E. Ați omis să menționați că funcția f este derivabilă.

  4. A_Cristian
    expert (VI)

    A_Cristian post_id=111053 time=1523305719 user_id=21123 wrote:
    Nu inteleg ce-mi scapa, dar conditia f(x0)=0 nu pare a fi necesara. De exemplu pentru g(x)=[x]*cos(x), nu vad ce nu ar avea derivata in 0. Evident, putem extinde functia data astfel incat sa fie derivabila peste R.

    Bleah, am uitat ca trebuie sa fie continua intai si de abia apoi putem discuta de derivabilitate.
    LE: @gigelmarga. Probabil ca derivabilitatea lui f se subintelge prin prisma faptului ca apare f’ pe-acolo sau autorul a fost mai lenes.
    Altfel evident (si sper sa nu mai spun ceva eronat in seara asta) g(x)=[x]*[x+1] este derivabila in 0.

  5. gigelmarga
    profesor

    A_Cristian post_id=111053 time=1523305719 user_id=21123 wrote:
    De exemplu pentru g(x)=[x]*cos(x), nu vad ce nu ar avea derivata in 0.

  6. A_Cristian
    expert (VI)

    gigelmarga post_id=111056 time=1523306159 user_id=20599 wrote:
    [quote=A_Cristian post_id=111053 time=1523305719 user_id=21123]
    De exemplu pentru g(x)=[x]*cos(x), nu vad ce nu ar avea derivata in 0.

    Asa e cand te arunci ca berbecul si sari etape. Am postat mai sus ce gresisem.
    Ma retrag in „glorie” in seara asta 🙂.

  8. Kierkegaard

    gigelmarga post_id=111054 time=1523305824 user_id=20599 wrote:
    [quote=Kierkegaard post_id=111052 time=1523305066 user_id=22775]
    Se considera functiile f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, astfel incat g(x)=[x]\cdot f(x). Sa se demonstreze ca functia g este derivabila in punctul x_{0} \in \mathbb{Z}, daca si numai daca f(x_{0})=f{}'(x_{0})= 0

    Într-o vecinătate a punctului x_0 avem
    g(x)= \begin{cases} (x_0-1)f(x), \,x<x_0\\ x_0f(x), \,\,x\ge x_0 \end{cases}

    Punând condiția ca g să fie continuă în x_0 deducem (x_0-1)f(x_0)=x_0f(x_0), de unde f(x_0)=0.

    Ce rezultă dacă punem condiția de derivabilitate a funcției g în x_0?

    L.E. Ați omis să menționați că funcția f este derivabilă.

    Da, din enunt era omis faptul ca f este derivabila, dar si eu am uitat sa mentionez.
    Din conditia de derivabilitate a functiei g in x_0, rezulta:
    g{}'d(x_{0})=x_{0}\cdot f{}'(x_{0})
    g{}'s(x_{0})=(x_{0}-1)\cdot f{}'(x_{0})
    De unde ar rezulta ca f{}'(x_{0})=0
    Si in final f(x_{0})=f{}'(x_{0})=0
    Multumesc!

Raspunde

Raspunde