Matrice si determinanti

Question

Felixxveteran (III)

Pe: 12 februarie 20182018-02-12T15:10:08+02:00 2018-02-12T15:10:08+02:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Matrice si determinanti

Fie $A,B\in M_{3}\left ( \mathbb{R} \right )$ ,cel putin una nesingulara astfel incat :
$\3AB=2BA+I_{3}\$ . Sa se calculeze: $\det\left ( I_{3}-AB \right )+2\det\left ( I_{3}-BA \right )-3 \det( AB-BA)\$
$a) \1-\det\left ( AB-BA \right )\$
$b) -1$
$c) \frac{3}{2}\$
$d) \3+\det\left ( I_{3}-AB \right )\$
$e) \2+\det\left ( I_{3}-BA \right )\$
$f) \det\left ( AB-BA \right )\$

8 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

ghioknt · Answer 1 · 2018-02-12T16:36:57+02:00

Raspunsul bun trebuie să fie valabil pentru orice pereche de matrici care îndeplinește ipoteza. Perechea formată din A – inversabilă și din inversa sa satisface ipoteza. În acest caz, toți determinanții care apar în problemă sunt nuli, iar f. este singurul răspuns în care apare valoarea 0.

Felixx · Answer 2 · 2018-02-12T17:05:29+02:00

ghioknt post_id=110589 time=1518453417 user_id=18683 wrote:
Raspunsul bun trebuie să fie valabil pentru orice pereche de matrici care îndeplinește ipoteza. Perechea formată din A – inversabilă și din inversa sa satisface ipoteza. În acest caz, toți determinanții care apar în problemă sunt nuli, iar f. este singurul răspuns în care apare valoarea 0.

Inteleg ce spuneti domnule profesor, dar asta ar insemna ca B este inversa lui A ?

PhantomR · Answer 3 · 2018-02-12T17:21:36+02:00

M-am inspirat din raspunsul final indicat de ghioknt, altfel nu mi-ar fi iesit…. cred ca ar trebui sa fie si o rezolvare mai directa.

Avem, pe de-o parte, $\det(I_3-AB)=\det(3AB-2BA-AB)=\det(2(AB-BA))=4\det(AB-BA)$ . Similar, $\det(I_3-BA)=\det(3AB-2BA-BA)=\det(3(AB-BA))=9\det(AB-BA)$ , deci expresia ceruta este $19\det(AB-BA)$ .

Pe de alta parte, tot din ipoteza avem $BA=\frac{3AB-I_3}{2}$ , deci $AB-BA = \frac{-AB+I_3}{2}$ . Luand determinant, obtinem $\det(AB-BA) = \frac{1}{4}\det(I_3-AB)$
Avem si $I_3-BA = \frac{3(I_3-AB)}{2}$ , deci, luand determinant, $\det(I_3-BA)=\frac{9}{4}\det(I_3-AB)$ .
Inlocuind aceste relatii obtinem ca expresia ceruta este egala cu $\frac{19}{4}\det(I_3-AB)$ .

Deci, egaland cele 2 forme, obtinem $\det(AB-BA)=0$ , astfel ca expresia ceruta este egala cu $\det(AB-BA)$ ……

PhantomR · Answer 4 · 2018-02-12T17:55:04+02:00

EDIT: Legat de ce ati intrebat mai sus, daca va pot raspunde eu, aceea era ideea, ca $B=A^{-1}$ este o combinatie de matrice care verifica ipoteza (totusi, probabil ca nu este singura), aceasta fiind o metoda de a gasi rapid raspunsul corect (foarte buna pentru examenul propriu-zis, cand sunteti contra timp 😀).

Precizez ca m-am folosit de raspunsul final indicat de domnul ghioknt pentru gasirea rezolvarii (mai exact, am stiut unde trebuie sa ajung..), altfel ar fi fost mai dificil.

Avem $I-AB=3AB-2BA-AB=2(AB-BA) \Rightarrow \det(I-AB)=8\det(AB-BA)$ si $I-BA=3AB-2BA-BA=3(AB-BA) \Rightarrow \det(I-BA)=27\det(AB-BA)$ . Obtinem ca expresia ceruta este egala cu $59\det(AB-BA)$ .

Dar, pe de alta parte, daca $A$ sau $B$ este inversabila, avem $\det(I-AB)=\det(I-BA)$ .
Demonstratie: Presupunem ca $A$ e inversabila (pentru $B$ inversabila se demonstreaza analog). Avem
$\det(I-AB)\det(AA^{-1}-AB)=\det(A(A^{-1}-B))=\det A\det(A^{-1}-B)=\det(A^{-1}-B)\det A = \det((A^{-1}-B)A)=\det(I-BA)$ .

Obtinem ca $8\det(AB-BA)=27\det(AB-BA) \Rightarrow \det(AB-BA)=0$ si apoi obtinem ca expresia ceruta e egala cu $0=\det(AB-BA)$ .

NOTA: De fapt, conditia ca una din matrice sa fie inversabila nu e necesara. Aceasta este deoarece proprietatea $\det(I-AB)=\det(I-BA)$ e adevarata pentru orice matrice patratice $A,B$ . De fapt, mai mult, polinoamele caracteristice ale matricelor $AB$ si $BA$ sunt mereu egale, adica $\det(I-xAB)=\det(I-xBA),\forall x\in\mathbb{R}$ (chiar $\mathbb{C}$ ), iar proprietatea mentionata se obtine pentru $x=1$ . Demonstratia egalitatii celor doua polinoame caracteristice pe cazul general o puteti gasi in acea carte cu „Matematica pentru grupele de performanta, clasa a XI-a” pe care am mentionat-o si alta data. In demonstratie, daca-mi amintesc bine, se folosea ca rezultat ajutator cazul in care una din matrice e inversabila (cel demonstrat mai sus cu bold), iar demonstratia era identica cu ce am scris eu mai sus (in acea carte am vazut-o si eu, mai demult).

Felixx · Answer 5 · 2018-02-12T19:47:19+02:00

Felixx veteran (III)

2018-02-12T19:47:19+02:00A raspuns pe 12 februarie 2018 la 7:47 PM

Am obtinut si eu expresia $59\det\left ( AB-BA \right )$ .M-ati scos de la necaz cu demonstratia
[tex]\det\left(I-AB\right)=det\left(I-BA \right )[tex]

- 0
Raspunde

Felixx · Answer 6 · 2018-02-12T20:28:31+02:00

Am obtinut si eu expresia $59\det\left ( AB-BA \right )$ .M-ati scos de la necaz cu demonstratia:
det(I-AB)=det(I-BA).
Eu am incercat sa arat ca matricile AB si BA au aceleasi valori proprii,dar eu credeam ca e valabila doar pentru matrici patratice de ordinul doi.
Sa aflam valorile proprii ale matricei AB,ele fiind radacinile ecuatiei:
det(AB-k*I)=k^2-Tr(AB)*k+det(AB)=0 (1)
Sa aflam valorile proprii ale matricei BA,care sunt radacinile ecuatiei:
det(BA-k*I)=k^2-Tr(BA)*k+det(BA)=0 (2)
unde Tr(AB)=Tr(BA) si det(AB)=detA*detB=detB*detA=det(BA)
Rezulta ca AB si BA au aceleasi valori proprii. Daca luam k=1 una dintre ele obtinem exact det(AB-I)=det(BA-I).
Va rog sa-mi spuneti daca am gresit ce ceva.
Dar eu vroiam demonstratia domnului PhantomR.
Va multumesc domnilor profesori si va rog sa-mi spuneti daca am gresit cu ceva.
Ma scuzati ca nu am utilizat LATEX-ul( si ca l-am inlociut pe lambda cu k), mie imi da numai erori astazi.
Da, am gasit si teorema cum ca polinoamele caracteristice ale matricelor AB si BA sunt mereu egale.Exista si demonstratia.Va multumesc mult.
Proprietatea2.2.9,pag.54

PhantomR · Answer 7 · 2018-02-13T18:22:26+02:00

Ma bucur ca valoarea $59$ e corecta ^_^.

Legat de demonstratia pentru matrice de ordinul 2, eu as zice ca nu era necesar sa fie aduse valorile proprii in discutie ; mai exact, deoarece cele doua polinoame in $k$ : $\det(AB-kI)=k^2-\rm{Tr}AB+\det(AB)$ si celalalt, au aceeasi coeficienti (din cauza egalitatii celor 2 urme si celor 2 determinanti pe care i-ati amintit), rezulta ca sunt egale.

Felixx post_id=110594 time=1518467311 user_id=21270 wrote:
Rezulta ca AB si BA au aceleasi valori proprii. Daca luam k=1 una dintre ele obtinem exact det(AB-I)=det(BA-I).

Aici, as zice ca este o greseala de exprimare. Nu putem da valori unei valori proprii. Putem ,in schimb, da valori variabilei polinoamelor, dar valorile proprii (radacinile celor 2 polinoame, care se obtin rezolvand ecuatia ce rezulta egaland polinomul cu $0$ ) sunt fixe pentru fiecare pereche de matrice $(A,B)$ .

Oh, iar legat de $\LaTeX$ , nicio problema 😀. Chiar era foarte inteligibil textul matematic pe care l-ati scris si fara. Va multumes si eu ca ati scris locatia demonstratiei acelui rezultat ! 😀.

Felixx · Answer 8 · 2018-02-13T19:20:16+02:00

Felixx veteran (III)

2018-02-13T19:20:16+02:00A raspuns pe 13 februarie 2018 la 7:20 PM

Multumesc domnule PhantomR.

- 0
Raspunde

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Matrice si determinanti

Similare

8 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul