Home/ Intrebari/Q 92537
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

numere
Pe: 2018-02-08T18:15:37+02:00 In: In:

gazeta

Sa se arate ca 4^{119}<2,7^{170}. Am incercat niste majorari, dar degeaba. Macar o idee, nu vreau neaparat rezolvarea integrala. Mutumesc.

Similare

10 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Este, cumva, dintr-o gazeta recenta 🙂? Mai exact.. as vrea sa stiu daca este printre probleme pentru concursul gazetei si daca dumneavoastra sau persoana pentru care este problema participati la concurs.

  2. numere

    nu este recenta, e din 2015 cred.
    da, am verificat, 2015. a trecut de mult perioada raspunsurilor:)).

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Super 🙂 atunci.. o idee:

    2^{238} < 27^{170} / 10^{170} \Leftrightarrow 2^{238} \cdot 10^{170} < 27^{170} \Leftrightarrow 2^{238}\cdot 2^{170}\cdot 5^{170} < 3^{510} \Leftrightarrow 2^{408}\cdot 5^{170}< 3^{510}.

    Incercam sa gasim x,y astfel incat 2^{408} < 3^x si 5^{170}<3^y cu x+y=510..

    Ne uitam sa gasim puteri ale lui 2 si lui 3 cat mai apropiate ca valoare (o alta idee ar fi sa incercam sa cautam prima data puteri apropiate pentru 5 si 3).. gasim 2^3, 3^2 (8<9) si atunci: 2^{408} = (2^3)^{136} < (3^2)^{136} = 3^{272}.

    Ramane sa aratam ca 5^{170} < 3^{510-272} = 3^{238}. De aici, eu am incercat, din nou, sa caut puteri apropiate: puterile ale lui 5:
    1, 25, 125, 625, 3125.. ; puteri ale lui 3: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 3187... Prima incercare ar fi 25 si 27: 5^{170}=(5^2)^{85} < (3^3)^{85}=3^{255}.. rau 🙂. Urmatoarele 2 puteri care sunt mai apropiate sunt 3125 si 3187.. Avem 5^{170}=(5^5)^{34}< (3^7)^{34}=3^{238}, exact cat aveam nevoie 🙂.
    NOTA: Daca 170 nu s-ar fi impartit la 2, respectiv 5, l-as fi descompus in 2 parti: M_2+rest / M_5+rest (M- multiplu), iar cu partea ‘rest’ as fi incercat sa rezolv la final, cu ce imi ramanea din puterea lui 3.

  5. numere

    pe wolframalpha imi arata ca inegalitatea este falsa…

  6. gigelmarga
    profesor

    numere post_id=110550 time=1518122484 user_id=18917 wrote:
    pe wolframalpha imi arata ca inegalitatea este falsa…


    Nu chiar… http://www.wolframalpha.com/input/?i=4%5E119-2.7%5E170

  8. PhantomR
    expert (VI)

    numere post_id=110550 time=1518122484 user_id=18917 wrote:
    pe wolframalpha imi arata ca inegalitatea este falsa…

    Poate ati scris-o cumva gresit .. 🙂 Din ce a pus domnul Gigel Marga mai sus, e adevarata. Eu am incercat chiar sa o pun sub forma de inegalitate (cu „<„) si mi-a dat adevarat:

  9. gigelmarga
    profesor

    PhantomR post_id=110553 time=1518126058 user_id=15235 wrote:

    domnul Gigel Marga

    Încă o dată, numele nu e Gigel Marga. Doar numele de utilizator este gigelmarga. Nu vă numiți PhantomR în buletin, nu?

  10. Integrator
    maestru (V)

    numere post_id=110541 time=1518113737 user_id=18917 wrote:
    Sa se arate ca 4^{119}<2,7^{170}. Am incercat niste majorari, dar degeaba. Macar o idee, nu vreau neaparat rezolvarea integrala. Mutumesc.


    Bună dimineața,

    O idee:

    Deoarece 4^{119}=(4^{7})^{17} , atunci se arată că inegalitatea dată este echivalentă cu 4^{7}<2,7^{10} ceea ce înseamnă că 2^{7}<2,7^{5} sau că 4<1,35^{5} iar această ultimă inegalitate se verifică ușor.

    Toate cele bune,

    Integrator

  12. numere

    Multumesc tuturor pentru raspunsuri. Am scris eu gresit pe wolfram, intradevar. Solutia lui phantomr mi se pare prea complicata pt clasa a v a. Dar cea a lui integrator este mult mai ok pt nivelul acesta.

  13. PhantomR
    expert (VI)

    @gigelmarga: Daca mi-ati mai spus altcandva, e posibil sa nu fi vazut sau sa fi uitat. Va rog sa ma iertati, nu a fost cu intentie, insa parea un nume valid 🙂.

    @numere: Cu drag. S-ar putea sa para mai complicata decat e din cauza modului in care am prezentat-o eu. Dar, in orice caz, pare frumoasa ideea lui @Integrator 🙂.

Raspunde

Raspunde