Home/ Intrebari/Q 92276
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

SilentGTX
Pe: 2017-06-09T19:13:48+03:00 In: In:

aa

Salutare!

As avea nevoie de ajutor la aceasta probleme, nu reusesc nicicum sa ii dau de cap… nici nu stiu de unde sa incep…

Problema suna asa:

Fie NP o secanta( NP nu e paralel cu BC ) intr-un triughi oarecare ABC. Daca ceviana dusa din A intersecteaza pe NP in Q, respectiv pe BC in A1.
Sa se demonstreze ca exista un singur punct Q care apartine lui NP astfel incat urmatoarea relatie sa fie adevarata:
AN/NB + AP/PC= 2AQ/QA1

Eu am incercat sa o fac cu relatia lui Van Aubel initial, dar degeaba… nu am reusit nimic… as avea nevoie de intreaga demonstratie…

Similare

12 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    SilentGTX wrote: Salutare!

    As avea nevoie de ajutor la aceasta probleme, nu reusesc nicicum sa ii dau de cap… nici nu stiu de unde sa incep…

    Problema suna asa:

    Fie NP o secanta( NP nu e paralel cu BC ) intr-un triughi oarecare ABC. Daca ceviana dusa din A intersecteaza pe NP in Q, respectiv pe BC in A1.
    Sa se demonstreze ca exista un singur punct Q care apartine lui NP astfel incat urmatoarea relatie sa fie adevarata:
    AN/NB + AP/PC= 2AQ/QA1

    Eu am incercat sa o fac cu relatia lui Van Aubel initial, dar degeaba… nu am reusit nimic… as avea nevoie de intreaga demonstratie…

    Enuntul e neclar. Ce înseamnă „o secantă în triunghiul ABC” ? Ce înseamnă „ceviana dusă din A”? E unică, adică nu e „o ceviană”, ci „ceviana”? Cum e definită?

    Si, în fine, care e sursa problemei?

  2. SilentGTX

    gigelmarga wrote: [quote=SilentGTX]Salutare!

    As avea nevoie de ajutor la aceasta probleme, nu reusesc nicicum sa ii dau de cap… nici nu stiu de unde sa incep…

    Problema suna asa:

    Fie NP o secanta( NP nu e paralel cu BC ) intr-un triughi oarecare ABC. Daca ceviana dusa din A intersecteaza pe NP in Q, respectiv pe BC in A1.
    Sa se demonstreze ca exista un singur punct Q care apartine lui NP astfel incat urmatoarea relatie sa fie adevarata:
    AN/NB + AP/PC= 2AQ/QA1

    Eu am incercat sa o fac cu relatia lui Van Aubel initial, dar degeaba… nu am reusit nimic… as avea nevoie de intreaga demonstratie…

    Enuntul e neclar. Ce înseamnă „o secantă în triunghiul ABC” ? Ce înseamnă „ceviana dusă din A”? E unică, adică nu e „o ceviană”, ci „ceviana”? Cum e definită?

    Si, în fine, care e sursa problemei?

    Uite aici desenul problemei… da, e unica ceviana, porneste din A si intersecteaza BC intr-un punct A1.
    Sursa problemei nu o stiu, am doar enuntul, atat.

    E clar acum?

  4. gigelmarga
    profesor

    SilentGTX wrote: da, e unica ceviana, porneste din A si intersecteaza BC intr-un punct A1.
    Sursa problemei nu o stiu, am doar enuntul, atat.

    E clar acum?

    Nu e deloc clar, exceptând faptul că nu prea stii ce se cere în problemă. Asta e clar. Cum e definit punctul A1?

  5. SilentGTX

    gigelmarga wrote: [quote=SilentGTX]da, e unica ceviana, porneste din A si intersecteaza BC intr-un punct A1.
    Sursa problemei nu o stiu, am doar enuntul, atat.

    E clar acum?

    Nu e deloc clar, exceptând faptul că nu prea stii ce se cere în problemă. Asta e clar. Cum e definit punctul A1?

    Pai A1 este punctul de intersectie al cevienei din A cu latura BC, atat e precizat in enunt.
    Eu am scris enuntul cuvant cu cuvant…

  6. Integrator
    maestru (V)

    SilentGTX wrote: Salutare!

    As avea nevoie de ajutor la aceasta probleme, nu reusesc nicicum sa ii dau de cap… nici nu stiu de unde sa incep…

    Problema suna asa:

    Fie NP o secanta( NP nu e paralel cu BC ) intr-un triughi oarecare ABC. Daca ceviana dusa din A intersecteaza pe NP in Q, respectiv pe BC in A1.
    Sa se demonstreze ca exista un singur punct Q care apartine lui NP astfel incat urmatoarea relatie sa fie adevarata:
    AN/NB + AP/PC= 2AQ/QA1

    Eu am incercat sa o fac cu relatia lui Van Aubel initial, dar degeaba… nu am reusit nimic… as avea nevoie de intreaga demonstratie…


    Nu înteleg ce fel de problemă este asta!?!?De unde aveti acea problemă sau cine v-a dat acea problemă?
    Cel care v-a dat problema stie care este sursa acesteia…..

  8. SilentGTX

    aa

  9. gigelmarga
    profesor

    Demonstrează că relatia dată are loc dacă si numai dacă ceviana respectivă trece prin punctul de intersectie a diagonalelor patrulaterului NPCB.

  10. SilentGTX

    aaa

  12. ghioknt
    profesor

    Lucrurile sunt destul de simple. Normal era sa scrii propria ta incercare si altcineva sa-ti spuna unde te-ai incurcat, nu sa-ti scrie
    intreaga demonstratie.
    Fie Q intersectia MN cu BC, I – intersectia BN cu CM si AA_1 ceviana care trece prin I. Aplici teorema lui Ceva celor trei ceviene ce trec
    prin I si obtii: AM\cdot BA_1\cdot CN=MB\cdot A_1C\cdot NA.
    Aplici Menelaos pentru triunghiul ABA_1 si transversala M-P-Q:
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot \frac{QB}{QA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot (1+\frac{A_1B}{QA_1}).
    Analog, cu triunghiul ACA_1 si transversala P-N-Q;
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot \frac{QC}{QA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot (1-\frac{A_1C}{QA_1}).
    Desfaci parantezele din aceste doua relatii, le aduni, o aducere la acelasi numitor,
    2\frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}+\frac{AM\cdot A_1B\cdot NC-MB\cdot A_1C\cdot AN}{QA_1\cdot MB\cdot NC},
    adica aceasta ceviana satisface cerinta problemei.
    Unicitatea lui P rezulta din faptul ca functia f(P)=\frac{AP}{PA_1},\;(P\in [MN]) este injectiva, iar injectivitatea
    ei rezulta din faptul ca secanta MN nu este paralela cu BC.

    Scuze; la sfarsit am observat ca nu ti-am respectat notatiile. La mine M este pe AB, N pe AC, iar punctul de pe secanta este P.

  13. SilentGTX

    ghioknt wrote: Lucrurile sunt destul de simple. Normal era sa scrii propria ta incercare si altcineva sa-ti spuna unde te-ai incurcat, nu sa-ti scrie
    intreaga demonstratie.
    Fie Q intersectia MN cu BC, I – intersectia BN cu CM si AA_1 ceviana care trece prin I. Aplici teorema lui Ceva celor trei ceviene ce trec
    prin I si obtii: AM\cdot BA_1\cdot CN=MB\cdot A_1C\cdot NA.
    Aplici Menelaos pentru triunghiul ABA_1 si transversala M-P-Q:
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot \frac{QB}{QA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot (1+\frac{A_1B}{QA_1}).
    Analog, cu triunghiul ACA_1 si transversala P-N-Q;
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot \frac{QC}{QA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot (1-\frac{A_1C}{QA_1}).
    Desfaci parantezele din aceste doua relatii, le aduni, o aducere la acelasi numitor,
    2\frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}+\frac{AM\cdot A_1B\cdot NC-MB\cdot A_1C\cdot AN}{QA_1\cdot MB\cdot NC},
    adica aceasta ceviana satisface cerinta problemei.
    Unicitatea lui P rezulta din faptul ca functia f(P)=\frac{AP}{PA_1},\;(P\in [MN]) este injectiva, iar injectivitatea
    ei rezulta din faptul ca secanta MN nu este paralela cu BC.

    Scuze; la sfarsit am observat ca nu ti-am respectat notatiile. La mine M este pe AB, N pe AC, iar punctul de pe secanta este P.

    Multumeesc!

  14. Integrator
    maestru (V)

    ghioknt wrote: Lucrurile sunt destul de simple. Normal era sa scrii propria ta incercare si altcineva sa-ti spuna unde te-ai incurcat, nu sa-ti scrie
    intreaga demonstratie.
    Fie Q intersectia MN cu BC, I – intersectia BN cu CM si AA_1 ceviana care trece prin I. Aplici teorema lui Ceva celor trei ceviene ce trec
    prin I si obtii: AM\cdot BA_1\cdot CN=MB\cdot A_1C\cdot NA.
    Aplici Menelaos pentru triunghiul ABA_1 si transversala M-P-Q:
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot \frac{QB}{QA_1}=\frac{AM}{MB}\cdot (1+\frac{A_1B}{QA_1}).
    Analog, cu triunghiul ACA_1 si transversala P-N-Q;
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot \frac{QC}{QA_1}=\frac{AN}{NC}\cdot (1-\frac{A_1C}{QA_1}).
    Desfaci parantezele din aceste doua relatii, le aduni, o aducere la acelasi numitor,
    2\frac{AP}{PA_1}=\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}+\frac{AM\cdot A_1B\cdot NC-MB\cdot A_1C\cdot AN}{QA_1\cdot MB\cdot NC},
    adica aceasta ceviana satisface cerinta problemei.
    Unicitatea lui P rezulta din faptul ca functia f(P)=\frac{AP}{PA_1},\;(P\in [MN]) este injectiva, iar injectivitatea
    ei rezulta din faptul ca secanta MN nu este paralela cu BC.

    Scuze; la sfarsit am observat ca nu ti-am respectat notatiile. La mine M este pe AB, N pe AC, iar punctul de pe secanta este P.


    Nu înteleg demonstratia unicitătii….Ce se întâmplă când punctul A_1 se află în exteriorul segmentului de dreaptă BC?Multumesc!

  16. ghioknt
    profesor

    Am scris clar că definesc functia f numai pentru P\in [MN]\Leftrightarrow A_1\in [BC] tocmai ca să evit elegant întrebarea
    care îmi va fi pusă.
    În aceste conditii, presupunând că mai există o ceviană AA’ cu punctul corespunzător P’ pe ea, f(P)=f(P’) înseamnă
    \frac{AP}{PA_1}=\frac{AP'}{P'A'} care ar conduce la PP’ || A_1A’, ceeace contrazice ipoteza. Deci functia f este injectivă,
    adică raportul respectiv nu poate lua o anumită valoare, (1/2)[(AM/MB)+ (AN/NC)], decât într-un singur punct.
    În cazul în care A_1 zburdă liber pe BC si îl trage si pe P în afara segmentului [MN], atunci poate că există 2 ceviene care generează
    aceeasi valoare a raportului si deci concluzia problemei nu este adevarată în conditii atât de largi.
    Vă las bucuria să ne delectati cu răspunsul la întrebarea: fiind dată ceviana AA_1, cum putem construi o alta AA’ a. î. dacă P si P’
    sunt intersectiile lor cu MN să avem AP/PA_1=AP’/P’A’?

Raspunde

Raspunde