Home/ Intrebari/Q 92250
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

D3m3nTiaL
Pe: 2017-05-28T10:51:31+03:00 In: In:

Probleme

Salutare forum Matematic , am nevoie de ajutor la 2 probleme .

1) f este de doua ori derivabila pe I => f ” (x)>=0 , oricare ar f x din I daca si numai daca f- convexa pe I

2) |sinx|=m-|x| , m este Real => numarul de solutii Reale in functie de m .

Ni le-a dat domnul profesor , nu am idee de unde din pacate

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    În cele ce urmează voi cosidera mereu că dintre numerele x_1,\;x_2 primul este mai mic.
    a)Pentru orice x\in (x_1;x_2) există si este unic numărul t\in (0;1)\;a.i.\;x=(1-t)x_1+tx_2.
    Într-adevăr, t=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\;(1-t=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}).
    b) Definitie: functia f este convexă pe intervalul I înseamnă:
    \forall x_1,\;x_2\;\in I\;si\;\forall t\in (0;1):\;f((1-t)x_1+tx_2)\leq (1-t)f(x_1)+tf(x_2).
    Ținând cont de a), relatia din definitie se mai poate scrie:
    (x_2-x_1)f(x)\leq (x_2-x)f(x_1)+(x-x_1)f(x_2). (1)
    Dacă scădem din ambii membri expresia (x_2-x_1)f(x_1), relatia obtinută se poate scrie:
    \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}. (2)
    Dacă scădem (x_2-x_1)f(x_2), relatia obtinută se poate scrie:
    \frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}. (3)
    Dacă modificăm putin membrul stâng al relatiei (1): (x_2-x)f(x)+(x-x_1)f(x)\leq (x_2-x)f(x_1)+(x-x_1)f(x_2).
    termenii se pot rearanja si obtinem:
    \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq \frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}. (4)
    Asadar, functia f este convexă pe intervalul I dacă si numai dacă oricare dintre relatiile (1), (2), (3) sau (4) are loc
    \forall x_1,\;x_2,\;x\;\in I\;cu \;x_1<x<x_2.
    Interpretările geometrice ale relatiilor (2), (3), (4) sunt evidente; ele stabilesc inegalităti între pantele unor coarde.
    c)Să presupunem că functia f, de două ori derivabilă pe I, este si convexă pe acest interval. Din relatia (2) deducem:
    \lim_{x\to x_1\\x>x_1}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\Rightarrow f'(x_1)\leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
    Analog, din(3): f'(x_2)\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
    Deci \forall x_1,\;x_2,\;\in I\;cu \;x_1<x_2:\;f'(x_1)\leq f'(x_2), adică f’ este crescătoare pe I; de unde f''(x)\geq 0 pe I.
    d) Lagrange spune că \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}=f'(c_1)\:si\; \frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}=f'(c_2)\;cu\;x_1<c_1<x<c_2<x_2,\;deci\;c_1<c_2.
    Dar f''(x)\geq 0 spune că f’ este crescătoare, de unde f'(c_1)\leq f'(c_2)\;sau\;\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq \frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}
    adică are loc (4), deci f este convexă pe I.

Raspunde

Raspunde