Home/ Intrebari/Q 91148
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

MaTe1997
Pe: 2016-03-21T18:31:31+02:00 In: In:

limita grea

lim cand x->0 din (1-cos(x)*(cos(2x)^2)*…(cos(nx)^n)/x^2).
Am incercat dar nu mi-a iesit.

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Mai întâi, cred că ai scris greşit: exponenţii trebuie să fie pentru cosinusuri, nu pentru argumentele acestora. Adică
    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\cdot \cos^2 2x\cdot ...\cdot \cos^n nx}{x^2}.
    Voi nota această limită cu l_n şi voi căuta să obţin o relaţie de recurenţă.
    l_{n+1}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\cdot ...\cdot \cos^nnx+\cos x\cdot ...\cdot \cos^n nx-\cos x\cdot ...\cdot \cos^{n+1}(n+1)x}{x^2}=\\=l_n+\lim_{x\to 0}\cos x\cdot ...\cdot \cos^nnx\cdot \frac{1-\cos^{n+1}(n+1)x}{x^2}=\\=l_n+1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{(n+1)\cos^n x\cdot \sin(n+1)x}{2x(n+1)}\cdot (n+1)=l_n+\frac{(n+1)^2}{2}.
    Plecând de la l_1=\frac{1}{2} şi adunând primele n-1 relaţii oferite de relaţia de recurenţâ, se obţine
    l_n=\frac{1}{2}+\frac{2^2}{2}+...+\frac{n^2}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}.

  2. MaTe1997

    Da am scris gresit.Multumesc frumos!ce idee geniala nu mi-ar fi trecut prin cap asa ceva!Toate cele bune!

Raspunde

Raspunde