Home/ Intrebari/Q 90861
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Marcica
Pe: 2016-01-07T00:41:49+02:00 In: In:

Patrate perfecte

Exista o infinitate de patrate perfecte care sa inceapa cu 2016?

Banuiesc ca raspunsul este afirmativ (iar in loc de 2,0,1,6 puteau fi luate oricare cifre) dar nu am reusit sa dovedesc.

Similare

10 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Niste sugestii.
    1. Care este diferenta dintre 2 patrate perfecte consecutive?
    2. Daca adaugam 2k zerouri la sfarsitul unui numar n, cu ce ordin de marime creste \sqrt{n*10^{2k}} fata de \sqrt{n}?

  2. Marcica

    A_Cristian wrote: Niste sugestii.
    1. Care este diferenta dintre 2 patrate perfecte consecutive?
    2. Daca adaugam 2k zerouri la sfarsitul unui numar n, cu ce ordin de marime creste \sqrt{n*10^{2k}} fata de \sqrt{n}?

    1. Multumesc pentru dorinta de a ma ajuta; Stiu ca diferenta dinte n^2 si (n+1)^2 este 2n+1 dar nu vad cum ma pot folosi de acest lucru

    2. Inteleg ca ati luat un numar oarecare n in locul lui 2016 dar acum, pentru a arata ca exista un patrat perfect care sa inceapa cu n nu inteleg la ce mi-ar folosi ideea dvs pentru ca eu consider ca ceea ce trebuie sa facem este sa argumentam existenta unui patrat perfect cuprins intre n \cdot 10^k si n \cdot 10^k + 10^k.

  4. A_Cristian
    expert (VI)

    Nu degeaba am pus 2k zerouri la sfarsitului numarului n.
    Avem: \sqrt{n}<\left [\sqrt{n}\right ]+1 \Rightarrow \sqrt{n*10^{2k}}<10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1).
    Trebuie sa mai demonstram ca exista un k_0 astfel incat 2*(10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1))+1 \le 10^{2k}, \forall k>k_0.

    Care este sursa problemei?

  5. Marcica

    A_Cristian wrote: Care este sursa problemei?


    In culegrea „BAC 2004” aparuta la Editura GIL se cere valoarea de adevar a propozitiei „o infinitate de patrate perfecte incep cu cifrele 2,0,0,3”

    A_Cristian wrote: Nu degeaba am pus 2k zerouri la sfarsitului numarului n.
    Avem: \sqrt{n}<\left [\sqrt{n}\right ]+1 \Rightarrow \sqrt{n*10^{2k}}<10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1).
    Trebuie sa mai demonstram ca exista un k_0 astfel incat 2*(10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1))+1 \le 10^{2k}, \forall k>k_0.

    Patratul lui {10^k} \cdot \left( {\left[ {\sqrt n } \right] + 1} \right) nu are la inceput cifrele numarului n, de exemplu pentru n=2016 avem \left[ {\sqrt {2016} } \right] + 1 = 45 iar {\left( {{{10}^k} \cdot 45} \right)^2} = 202500...0 nu incepe cu cifrele 2,0,1,6.

  6. Marcica

    Am observat ca daca as demonstra ca pentru orice numar natural nenul n exista cel putin un patrat perfect care incepe cu cifrele numarului n atunci de aici ar rezulta imediat ca si consecinta ca exista o infinitate de astfel de patrate perfecte.

    Ramane deci de demonstrat propozitia evidentiata!

  8. A_Cristian
    expert (VI)

    Credeam ca urmaresti altceva. Din pacate vad ca n-ai inteles sugestiile mele.
    Majorarile de acolo sunt pentru cu totul altceva. Si anume pentru a arata ca urmatorul patrat perfect intra in intervalul dorit. Si nu de a gasi un patrat perfect.
    Altfel ti-as fi putut spune ca 20164 este patrat perfect si aici incheiam problema.

  9. Marcica

    A_Cristian wrote: Altfel ti-as fi putut spune ca 20164 este patrat perfect si aici incheiam problema.

    Nu ati inteles! Eu vreau sa demonstrez existenta unui numar nesfarsit de astfel de patrate

    A_Cristian wrote: Majorarile de acolo sunt pentru cu totul altceva. Si anume pentru a arata ca urmatorul patrat perfect intra in intervalul dorit.


    Intentia e justa, m-am prins de asta, dar nu vad cum s-ar finaliza demonstratia!

  10. A_Cristian
    expert (VI)

    Marcica wrote: [quote=A_Cristian]Altfel ti-as fi putut spune ca 20164 este patrat perfect si aici incheiam problema.

    Nu ati inteles! Eu vreau sa demonstrez existenta unui numar nesfarsit de astfel de patrate

    Din momentul in care stim ca 20164 este patrat perfect, putem construi o infinitate de patrate perfecte de forma 20164*10^{2k}.

    Marcica wrote:
    [quote=A_Cristian]Majorarile de acolo sunt pentru cu totul altceva. Si anume pentru a arata ca urmatorul patrat perfect intra in intervalul dorit.


    Intentia e justa, m-am prins de asta, dar nu vad cum s-ar finaliza demonstratia!
    Sper ca am dat destule indicatii pe PM pentru a intelege si finalizarea problemei.

  12. Marcica

    Sa abandonam exemplul cu 2016 luand cazul general.

    Din pacate, in a doua postare a dvs din acest topic nu ati pus asa cum ati intentionat parantezele partii intregi:

    A_Cristian wrote: Avem: \sqrt{n}<\left [\sqrt{n}\right ]+1 \Rightarrow \sqrt{n*10^{2k}}<10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1).
    Trebuie sa mai demonstram ca exista un k_0 astfel incat 2*(10^k*(\left [\sqrt{n}\right ]+1))+1 \le 10^{2k}, \forall k>k_0.

    Dupa cele ce mi-ati scris pe PM am inteles ca de fapt daca luam x = \left[ {\sqrt {n \cdot {{10}^{2k}}} } \right] atunci n \cdot {10^{2k}} < {(x + 1)^2} si este suficient sa demonstram ca exista k astfel incat

    {(x + 1)^2} < n \cdot {10^{2k}} + {10^{2k}},

    conditie care este asigurata daca 2x + 1 < {10^{2k}}, adica

    2\left[ {\sqrt {n \cdot {{10}^{2k}}} } \right] + 1 < {10^{2k}}

    Caut sa vad mai departe cum argumentam existenta lui k care sa aiba aceasta proprietate!

  13. Marcica

    Da, continuarea ar putea fi aceasta:

    Deoarece

    2\left[ {\sqrt {n \cdot {{10}^{2k}}} } \right] + 1 < 2\sqrt {n \cdot {{10}^{2k}}} + 1 < 2 \cdot \left( {\left[ {\sqrt n } \right] + 1} \right) \cdot {10^k} + 1,

    e suficient ca

    2 \cdot \left( {\left[ {\sqrt n } \right] + 1} \right) \cdot {10^k} + 1 < {10^{2k}},

    relatie asigurata daca

    2 \cdot \left( {\left[ {\sqrt n } \right] + 1} \right) < {10^k}

    Evident, exista astfel de valori k !

    Multumiri domnului A_Cristian si acum vad ca parantezele din cea de a doua postare erau puse exact asa cum intentionase, doar ca se referea la pasul urmator celui in care ma aflam eu cu intelegerea problemei!

Raspunde

Raspunde