Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a) a(n) = 1 + 1/3 + 1/3^2 + …. + 1/3^n , n apartine N .
b) a(n) = (1+2+3+…+n) / n^2 , n apartine N*
c) a(n) = (n^2 + n + 1)/(n+1)^2 , n apartine N .
Le multumesc din suflet celor care ma pot ajuta !
Ex 1
Se observa ca termenii sumei sunt in progresie geometrica cu ratia 1/3.Progresia are (n+!) termeni
SCrii cu ajutorul formulei suma termenilor expresiei date Sn=[1-(1/3)^(n+1)]/(1-1/3)=
[1-(1/3)^(n+1)]:2/3=3/2*[1-(1/3)^(n+1)}<3/3 Pt ca paranteza dreapta e mai mica decat 1 tragem concluzia ca Sn<3/2Cum primul termen al sumei este 1 tragem concluzia ca ca Sn>1 Deci
1<Sn<3/2 siryul este marginit
a(n+1)=1+1/3+….+1/3^n+(1/3)^(n+1)
a(n+1)-an=(1/3)^(n+1)>0 deci a(n+1)>an sirul este crescator
Lim Sn+lim3/2*[1-(1/3)^((n+1)=3/2*lim[1-(1-1/3)^(n+1)] dAR FRACTIA FIIND SUBUNITARA => (1/3)^(n+1)–>0
dECI [….]–>1 DECI lim Sn=3/2
Lsa numarator ai o suma gauss pe care o notam cu Sn
Sn=[n*(n+!)]/2
atunci an = Sn/2*n^2=[n*(n+1)]/2n^2= (n^2+n)/2*n^2
Deoarece fractia are si la numitor si la numarator numere pozitive este strict pozitiva deci an>0 . DEoarece numaratorul e mai mic decat numitorul pt orice n>1, tragem concluzia ca fractia e subunitara Adica [n^2+n)/(2*n^2)<1
Deci 0<an<1
Sau an e (0, 1]
Monotonia ti_O calculezi singur Pe baza exemplului de mai sus facand diferenta a(n+1)-an
lim (n^2+n)/2n^2=1/2
n–>oo
Exponentul de la numaraytor e egal cu cel de la numitor faci raportul coeficientilor
La numarator ai o suma de numere pozitive deci suma lor e strict pozitive
la numarator ai un numar la patrat care e strict pozitivDeci fractia este strict pozitiva . adica an>0
(n^2+n+1)/(n+1)^2=(n^2+n+1)/(n^2+2n+1)
SE observa ca numitorul e mai mare decat numaratorul deci fractia e subunitara adica an<1
DEci in final
0<an<1
anE (0 ,1]
monotonia ti-o faci singur calculand a(n+!)/an
lim an= lim (n^2+n+1)/(n+!)^2=1 exponenti de la numarator si numitor fiind egali se face raportul coeficientilor lui n
Intrebari, nelamuriri
n–oo
Nu nu,am inteles tot ! Multumesc mult !