Home/ Intrebari/Q 87334
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

richfeynman
Pe: 2014-08-20T19:02:25+03:00 In: In:

Limita unei sume

Un coleg de pe forum mi-a aratat aceasta problema si sunt curios cu ce alte abordari ati putea veni 😀 .

Care este valoarea lui L ?

    \[ L = \lim _{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln (1 + \frac{k}{{n^2 }}} ) \]

Similare

3 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Pntru inceput ,expresia ”lim(n->inf)[ln(1+k/n^2)]” o vom pune sub forma;
    ”lim(n->inf.)[(1/n).(n,ln(1+k/n^2))]=lim(n->inf.)[(1/n).ln{lim(n->inf.)[(1+(k/n)/n)^n)]}=lim(n->inf.)[(1/n)ln(e^k/n)]=lim(n->inf.)[(1/n).(k/n)]”
    lim(n->inf.)[Suma(de la k=1 la n)[ln(1+k/n^2)]=lim(n->inf.)[suma( de la k=1 la n)[k/n^2]=lim(n->inf.)[n(n+1)/(2n^2)]->1/2

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Avem urmatoarea limita remarcabila
    \lim _{n \to \infty }\frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}=1.Care in limbaj cu epsilon devine,|\frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}-1|<\epsilon\Leftrightarrow -\epsilon<\frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}-1<\epsilon \Leftrightarrow 1-\epsilon<\frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}<\epsilon+1 \Leftrightarrow (1-\epsilon) \cdot \frac{k}{n^2}<ln(1+\frac{k}{n^2})<(1+\epsilon) \cdot \frac{k}{n^2} \Leftrightarrow (1-\epsilon)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}<\sum\limits_{k=1}^n ln(1+\frac{k}{n^2})<(1+\epsilon)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \Leftrightarrow 1-\epsilon<\frac{\sum\limits_{k=1}^n ln(1+\frac{k}{n^2})}{\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}}<1+\epsilon \Leftrightarrow |\frac{\sum\limits_{k=1}^n ln(1+\frac{k}{n^2})}{\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}}-1|<\epsilon \Leftrightarrow \lim _{n \to \infty }\frac{\sum\limits_{k=1}^n ln(1+\frac{k}{n^2})}{\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}}=1[tex],dar \lim _{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}.Deducem ca si limta ceruta este \frac{1}{2}.

  4. ghioknt
    profesor

    @ grapefruit
    Pentru ca stiu ca observatiile mele nu te vor supara, imi permit sa fiu critic cu cele postate de tine.

    Mai intai, aceasta abordare superficiala a problemei nu poate fi justificata cu expresia ”limbajul cu epsilon”.
    Teorema cu pricina se numeste deobicei ”Teorema de caracterizare cu epsilon a limitei unui sir”, sau, alteori,
    ”Definitia cu epsilon a limitei unui sir”. Este vorba de siruri convergente si are urmatorul enunt:
    \lim_{n\to \infty }x_n=l\in \mathbb{R}\;\Leftrightarrow \;\forall \varepsilon >0\;exista\;un\;rang\;care\;nu\;depinde\;decat\;de\;\varepsilon ,\;notat\;N(\varepsilon )\;a.\;i.
    \forall n>N(\varepsilon ):\;|x_n-l|<\varepsilon .
    Cand aplici aceasta teorema sirurilor de forma \frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}, deduci ca pentru fiecare
    exista un N(\varepsilon ) dincolo de care sunt adevarate inegalitatile scrise de tine, dar, pe ansamblu, acestia
    vor fi diferiti de la sir la sir, deci vor depinde, vrei, nu vrei si de k, nu numai de epsilon.
    Atunci cand vrei sa demonstrezi ca raportul celor 2 sume are limita 1, accentul trebuie pus pe evidentierea unui N(\varepsilon )
    care sa nu depinda si de k; asta inseamna ca, ori nu este niciunul dintre cei gasiti anterior, ori este unul dintre ei, dar
    trebuie precizat care anume. Ori tu nu sufli un cuvintel despre asta, probabil pe principiul: o problema despre care nu vorbim,
    inseamna ca nu exista!
    Iata, acum, o posibila demonstratie.

    \lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1\;\;\Leftrightarrow \;\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta (\varepsilon )>0\;a.\;i.\;\forall x\;cu\;|x|<\delta (\varepsilon ):\;1-\varepsilon <\frac{ln(1+x)}{x}<1+\varepsilon .
    \lim_{n\to \infty }\frac{n}{n^2}=0\;\;\Leftrightarrow \;\;\exists N(\varepsilon )\;a.\;i.\;\forall n>N(\varepsilon ):\;0<\frac{n}{n^2}<\delta (\varepsilon )
    Am definit astfel pe N(\varepsilon ) pentru care, deocamdata, 1-\varepsilon <\frac{ln(1+\frac{n}{n^2})}{\frac{n}{n^2}}<1+\varepsilon .
    Dar \frac{k}{n^2}\leq \frac{n}{n^2}, deci cu atat mai mult avem si 0<\frac{k}{n^2}<\delta (\varepsilon );
    in cosecinta, inegalitatile 1-\varepsilon <\frac{ln(1+\frac{k}{n^2})}{\frac{k}{n^2}}<1+\varepsilon sunt indeplinite pentru orice k
    daca n>N(\varepsilon ) pe care l-am definit mai sus. Si (finalul iti apartine), in aceleasi conditii, ultimele concluzii
    trase de tine sunt acum justificate.
    In speranta ca nu te-am bulversat prea tare,
    cu bine,
    ghioknt

Raspunde

Raspunde