Demonstrati ca daca o functie f:R->R este injectiva si are P.D., atunci f este continua.
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Demonstrati ca daca o functie f:R->R este injectiva si are P.D., atunci f este continua.
CONTRAEXEMPLU (presupunand ca prin P.D. ai inteles Proprietatea lui Darboux http://ro.wikipedia.org/wiki/Proprietatea_Darboux ):
f:R->R
……..{ x pt x €(-∞; 0)
f(x)={1-x pt x €[0; 1]
……..{ x pt x €(1;∞)
functia este injectiva pe R, are proprietatea lui Darboux pr R dar este discontinua in x=0 si x=1
Nu cred ca functia data de dumneavoastra are proprietatea Darboux.
Spre exmplu, nu exista x din [-1,0] astfel incat pentru orice a din [f(-1),f(0)]=[-1,1] sa se indeplineasca f(x)=a. De exemplu f(x)=1/2 are unica solutie x=1/2 care nu este in [-1,0], iar 1/2 apartine de [f(-1),f(0)].
Ai dreptate ! M-am grabit si am gresit.
Folosim METODA REDUCERII LA ABSURD: Presupunem ca exista un x0 € R in care functia este discontinua => lim(x->x0, x<x0)f(x)<>lim(x->x0, x>x0)f(x)
fie m=lim(x->x0, x<x0)f(x) si n=lim(x->x0, x>x0)f(x) ( evident m<>n )
Consideram y0=(m+n)/2
f are prop lui Darboux <=> exista x1 € R cu proprietatea f(x1)=y0
Avem posibile doua cazuri: 1) x1>x0 si 2) x1<x0
cazul 1) x0<x1
Consider x2=(x0+x1)/2 Evident x2<x1. Pe intervalul [x0-1,x2] nu se verifica proprietatea lui Darboux deoarece x1 pentru care f(x1)=y0 se afla in afara intervalului [x0-1,x2], si functia este injectiva. S-a obtinut o contradictie.
cazul 2) x1<x0
Consider x3=(x1+x0)/2 Pe intervalul [x3,x0+1] nu se verifica proprietatea lui
Darboux deoarece x1 pentru care f(x1)=y0 se afla in afara intervalului [x3,x0+1] si functia este injectiva. S-a obtinut si in acest caz o contradictie.
Rezolvarea dumneavoastra trateaza doar cazurile de discontinuitate de prima speta, deoarece ati presupus ca limitele laterale exista si sunt chiar finite.
Bunaoara, chiar in articolul din linkul postat de dvs mai sus despre P.D. se precizeaza ca o functie cu P.D. poate admite doar discontinuitati de speta a doua, deci rezolvarea ramane incompleta.
Tratam si celelalte cazuri, dar principiul ramane acelasi:
B) lim(x->x0 x<x0)=n si lim(x->x0 x>x0)=∞
lim(x->x0 x>x0)=∞ => exista x1 cu proprietatea f(x1)=M>n si x1>x0 (definitia limitei la ∞ )
Consider x2=(x0+x1)/2 Evident x0<x2<x1. Pe intervalul [x0-1,x2] nu se verifica proprietatea lui Darboux (domeniul de valori pt x €[x0-1,x2] contine [n,∞) ) deoarece x1 pentru care f(x1)=M se afla in afara intervalului [x0-1,x2], si functia este injectiva. S-a obtinut din nou o contradictie.
C) lim(x->x0 x<x0)=n si lim(x->x0 x>x0)=-∞
….. tema
D) lim(x->x0 x<x0)=∞ si lim(x->x0 x>x0)=-∞
…… tema
E) lim(x->x0 x<x0)=-∞ si lim(x->x0 x>x0)=∞
…. tema
….
PS: Nu sunt profesor de matematica ci lucrez in IT de 20 de ani. Este FOARTE BINE ca aveti spirit de observatie SI SESIZATI IMEDIAT NUANTE, dar nu e bine ca n-ati sesizat ca metoda folosita in primul caz, se aplica cu mici modificari si-n celelalte patru.
In primul rand, va multumesc pentru efortul depus pentru rezolvare. Mai am unele mici lacune, dar ma voi lamuri de unul singur.
Inteleg si sunt de acord cu ceea ce spuneti. Nu stiu cum e in IT, dar, dupa parerea mea, in matematica ordinea si metoda sunt de baza si orice argument adus trebuie sa aiba baze teoretice sau logice. Nu ne putem permite sa lasam gauri in rezolvare deoarece abordam prea fugitiv.
Inca o data, va multumesc pentru rezolvare!
>in matematica ordinea si metoda sunt de baza si orice argument adus
>trebuie sa aiba baze teoretice sau logice. Nu ne putem permite sa lasam
>gauri in rezolvare deoarece abordam prea fugitiv.
Vezi ca am refacut demonstratia; se strecurase o gresala in versiunea precedenta. Nimic nu garanta ca exista x1>x0 astfel incat f(x1)=n+1. Aplicand definitia limitei la dreapta a unei functii la infinit in x0, exista perechea f(x1)=M>n
Matematica este o constructie logica ce se bazeaza pe definitii, teorme, consecinte si rezultate intermediare de importanta mai mica (leme propozitii).
Totul trebuie argumentat. Trebuie foarte bine stapanita teoria-inclusiv definitiile.
INDISCUTABIL TREBUIE TRATATE TOATE CAZURILE CARE APAR ATUNCI CAND SE REZOLVA O PROBLEMA. MI-a SCAPAT FAPTUL CA POT EXISTA discontinuitati de speta a 2 a.
De notat ca mai exista si cazurile:
i)La speta I: ls(xo)=ld(xo) dar diferite de f(xo) (caz care se poate totusi evita, deoarece intregul caz al discontinuitatii de speta I se poate evita din cauza proprietatii Darboux)
ii)La speta II: Cazul in care o limita laterala nu exista, dar acest caz se rezorva, cred, analog cazului in care acea limita laterala ar fi infinita.
Voi studia mai atent rezolvarea ca sa o percep mai bine si sa imi lamuresc lacunele. Cred ca e nevoie, din moment ce nu am sesizat nici eu aceasta greseala.
Fie I un interval. O funcţie f:I -> R injectivă şi cu PD este strict monotonă.
Să presupunem că nu este aşa. Atunci există x1, x2, x3 in I a. î. x1<x2<x3 şi f(x1)<f(x2)>f(x3) (sau f(x1)>f(x2)<f(x3)).
Iau numărul real a a. î. a>max(f(x1), f(x3)) şi a<f(x2).
Din f(x1)<a<f(x2) şi PD obţin: există b în (x1; x2) a. î. f(b)=a; din f(x3)<a>f(x2) şi PD obţin: există c în (x2; x3) a. î. f(c)=a.
Aceste rezultate contrazic injectivitatea.
Reamintesc: f se numeşte continuă în x0 dacă pentru orice vecinătate V a lui y0=f(x0) există o vecinătate U a lui x0 a. î. f(U)incl.în V.
Să zicem că f este strict crescătoare. Iau V=(c; d) (c<y0<d). PD şi monotonia aleasă îmi permit să afirm:
există a, b a. î. f(a)=c, f(b)=d şi a<x0<b. Asta arată că U=(a,b) este o vecinătate a lui x0 şi, încă odată, monotonia
implică f(U)=V. Aşadar f este continuă în oricare x0.
Dacă nu s-a strecurat vre-o greşeală de logică, ce nu am scris sunt detalii, care pot fi completate de cineva interesat.
Cu bine, ghioknt.
Intr-adevar, domnule ghioknt, monotonia se pare ca este o conditie suficienta, alaturi de P.D. pentru continuitatea unei functii. Ba chiar observand propozitia 2′ de aici
are loc chiar o echivalenta. Va multumesc pentru rezolvarea propusa!
O altă schemă de demonstraţie poate fi următoarea.
O funcţie definită pe un interval, injectivă şi cu proprietatea lui Darboux este strict monotonă.
O funcţie monotonă pe un interval nu poate avea decât puncte de discontinuitate de speţa I.
O funcţie cu PD pe un interval nu poate avea discontinuităţi de speţa I.
Deci funcţia ta nu poate avea discontinuităţi.
Cu bine, ghioknt.