Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Problema 1
Aratati ca daca n este numar natural impar, atunci suma a n numere naturale consecutive este divizibila cu n.
Problema 2
Calculati ultima cifra a numarului C=2^n+4^n+6^n+8^n, unde n este un numar natural nenul oarecare.
Va multumesc!
Problema 1
Fie a , a+1 , …, a+n-1 cele n numere consecutive ; este o progresie aritmetica cu ratia 1 ; n =2p+1 numar impar (1)
Suma celor n numere este S=(a+(a+n-1))*n:2 = (2*a+2*p+1-1)*n:2=(a+p)*n=M(n) este multiplu de n ; de observat ca in paranteza am inlocuit n cu (1)
De retinut : mai sus am folosit formula de calcul a sumei termenilor unei progresii aritmetice.
Suma poate fi calculata si altfel :
S= a + (a+1) + … + (a+n-1) = [1 + 2+3+…+(a-1)+ a + (a+1) + … + (a+n-1)] – [1 + 2+3+…+(a-1)] = … , aplici formula Gauss de 2 ori.
Problema 2
Impartirea n:4 da restul E {0,1,2,3} deci n este de forma 4k , 4k+1 , 4k+2 sau 4k+3
Analizezi toate cazurile posibile :
n=4k rezulta u(C) = u(u(2^4) + u(4^2) + 6 + u(8^4)) = u(6 + 6 + 6 + 6) = 4
n=4k+1 rezulta u(C) = u(u(2^1) + u(4^1) + 6 + u(8^1)) = u(2 + 4 + 6 + 8) = 0
continua tu
De retinut :
-ultima cifra a puterilor lui 2 si 8 se repeta cu perioada 4 (din 4 in 4) a exponentului
-ultima cifra a puterilor lui 4 se repeta cu perioada 2 (din 2 in 2) a exponentului
-ultima cifra a puterilor lui 6 este intotdeuna 6
La problema 1 am inteles perfect prin prima metoda, era nevoie de formula n=2p+1, apoi merge usor. Multumesc.
La problema 2, v-as ruga sa-mi explicati primul rand din raspuns.
Nu pricep de ce ati impartit n:4, si restul… Pentru ca C are 4 termeni?
Iar n=4k este o formula a unui nr. par?
Nu ne-a explicat asta la scoala.
Si la randul „n=4k rezulta u(u(2^4)+u(4^4)+…” este u(4^4) nu u(4^2), e corect?
Apoi am continuat si toate dau 0. E bine?
Imi cer scuze ca insist, dar sunt probleme grele fata de ce ni se preda la clasa, si tare as vrea sa le inteleg.
Va multumesc mult.
Daca incercai sa aplici ceea ce am subliniat „de retinut” , lucrurile ar fi fost usor de inteles.
Restul lui n : 4 ne permite sa aflam u(2^n) si u(8^n),
avem u(2^(4k+r)) = u(2^r) daca r E (1,2,3} si u(2^n)=u(2^4) daca r=0
Ultima cifra a puterilor lui 4 este dupa cum exponentul este par sau impar
deci pentru n=4k sau n=4k+2 avem restul n:2 egal cu 0 si rezulta u(4^n)=u(4^2)
pentru n=4k+1 sau n=4k+3 avem restul n:2 egal cu 1 si rezulta u(4^n)=u(4^1)
Aaaa, era sub nasul meu si nu vedeam… pai e logic acum!
Multumesc mult pentru rabdare.