Home/ Intrebari/Q 84948
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andreea.codreanu1998
Pe: 2014-01-12T13:31:06+02:00 In: In:

Coeficientii ecuatiei de gradul al II-lea

1.

    \[ x_1 ,x_2 \]

sunt solutiile ecuatiei

    \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] , iar

,

    \[ x_3 ,x_4 \]

sunt solutiile ecuatiei

    \[ x^2 + x - 1 = 0 \]

. Calculati

    \[ (x_1 - x_3 )(x_1 - x_4 )(x_2 - x_3 )(x_2 - x_4 ) \]

.

2.

    \[ x_1 ,x_2 {\rm sunt solutiile ecuatiei }x^2 + x - m = 0;{\rm }x_1 - x_2 {\rm = }\sqrt {\rm 5} {\rm . Determinati }x_1 {\rm , }x_2 {\rm si }m.{\rm } \]

3.

    \[ {\rm Formati ecuatia cu radacinile }x_1 = 2 + \sqrt 2 {\rm }{\rm , }x_2 = 2 - \sqrt 2 {\rm }{\rm . Aratati ca }(2 + \sqrt 2 )^n + (2 - \sqrt 2 )^n \in {\rm N},{\rm }\forall n \in {\rm N}. \]

4.

    \[ x_1 ,x_2 {\rm sunt solutiile ecuatiei }x^2 + mx + n = 0.{\rm Formulati ecuatia care are radacinele }x_1^' = x_1^2 + x_1 {\rm }{\rm , }x_2^' = x_2^2 + x_2 . \]

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Presupun că ştii relaţiile lui Viete; să mă corectezi dacă presupunerea mea este greşită.
    1) Pentru prima ecuaţie: x_1+x_2=2;\;x_1x_2=-1; pentru a doua: x_3+x_4=-1;\;x_3x_4=-1.
    (x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_2-x_3)(x_2-x_4)=[x_1^2-(x_3+x_4)x_1+x_3x_4][x_2^2-(x_3+x_4)x_2+x_3x_4]=
    =(x_1^2+x_1-1)(x_2^2+x_2-1)=(2x_1+1+x_1-1)(2x_2+1+x_2-1)=9x_1x_2=-9.
    2) Relaţia dată, împreună cu relaţiile lui Viete, formează un sistem de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute, uşor de rezolvat.
    3)Pentru a forma o ecuaţie de gradul 2 cu rădăcini prescrise calculezi S=x_1+x_2,\;\;P=x_1x_2. Ecuaţia
    va fi: x^2-Sx+P=0.
    Pentru rădăcinile date ai S=4,\;P=2\;\;x^2-4x+2=0 este ecuaţia căutată.
    x_1^2-4x_1+2=0\Rightarrow\,x_1^2=4x_1-2\Rightarrow\,x_1^n=4x_1^{n-1}-2x_1^{n-2};\;analog,\;x_2^2=4x_2-2,\,\;x_2^n=4x_2^{n-1}-2x_2^{n-2}.
    Atunci x_1^n+x_2^n=4(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}) este adevărată pentru orice n.
    Notăm cu P(n) afirmaţia: x_1^n+x_2^n\in\mathbb{N};\;\;x_1+x_2=4, deci P(1) este adevărată. x_1^2+x_2^2=4(x_1+x_2)-4=12,
    deci şi P(2) este adevărată.
    Fie n un număr natural pentru care P(n-1) şi P(n) sunt adevărate. Atunci
    x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=4(x_1^n+x_2^n)-2(x_1{n-1}+x_2^{n-1})\in\mathbb{N}, deci P(n+1) este adevărată ori de câte ori P(n-1) şi P(n)
    sunt adevărate. Cum P(1) şi P(2) sunt adevşrate, am demonstrat că toate afirmaţiile P(n) sunt adevărate.
    4) Toate cunoştinţele necesare şi instrucţiunile de utilizare le găseşti în exerciţiul precedent.
    Cu bine, ghioknt.

  2. andreea.codr3anu

    Mulţumesc !!

Raspunde

Raspunde