Home/ Intrebari/Q 83812
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

iutucu
Pe: 2013-11-02T14:39:29+02:00 In: In:

Trigonometrie

Va rog sa ma ajutati. Se se arate arcsin(x) +arcos (x)=pi/2;oricare ar fi x apartine intre -pi/2 si pi/2.

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Ai o problema: domeniul de definitie pentru functiile arcsin si arccos este intervalul [-1; 1], deci ai vrut sa scrii x cuprins intre -1 si 1.
    Trebuie sa stapanesti foarte bine definitiile functiilor arcsin si arccos; iata-le:

        \[ \begin{array}{l} x \in \left[ { - 1;1} \right] \wedge \arcsin x = \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \wedge \sin \alpha = x; \\ x \in \left[ { - 1;1} \right] \wedge \arccos x = \beta \quad \Leftrightarrow \quad \beta \in \left[ {0;\pi } \right] \wedge \cos \beta = x. \\ \end{array} \]

    Din aceste definitii deducem:

        \[ \alpha + \beta \in \left[ { - \frac{\pi }{{2;}};\frac{{3\pi 2}}{2}} \right],\quad \cos \alpha = \sqrt {1 - \sin ^2 \alpha } = \sqrt {1 - x^2 } ,\forall \alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right],\quad \sin \beta = \sqrt {1 - \cos ^2 \beta } = \sqrt {1 - x^2 } ,\forall \beta \in \left[ {0;\pi } \right]. \]

    Apoi:

        \[ sin\left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = x^2 + \left( {1 - x^2 } \right) = 1. \]

    Funcţia sin nu este injectivă pe intervalul [-pi/2; 3pi/2],
    totuşi singura valoare din acest interval în care ia valoarea maximă 1 este pi/2; deci

        \[ \alpha + \beta = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi }{2}. \]

    Cu bine, ghioknt.

  2. Hthug

    Identitatea e echivalenta cu :
    sin(arccos(x)+arcsin(x))=sin(pi/2) <=>
    <=>sin(arcsin(x))cos(arccos(x))+sin(arccos(x))cos(arcsin(x))=1<=>
    <=>x*x+sqrt(1-x^2)sqrt(1-x^2)=1 <=>
    <=> x^2+1-x^2=1 adevarat.

Raspunde

Raspunde