In manualul de matematica M1, Burtea, clasa aXI-a este urmatoarea definitie pentru vecinatatea unui numar:
Multimea
se numeste vecinatate a punctului
, daca exista un interval deschis
, astfel incat
.
La clasa mi-a fost predata o definitie asemanatoare, plus faptul ca o reuniune de intervale sau multimi cu intervale, etc. nu poate fi o vecinatate.
Exemplu:
nu e o vecinatate a lui 3.
Pe aceeasi pagina cu definitia din Burtea sunt niste exemple care contrazic ceea ce am fost invatat in clasa, unul dintre ele fiind:
este vecinatate pentru 1.
Intrebarea mea, rezultata din cele spuse mai sus este:
O reuniune de intervale(sau o structura asemanatoare) poate fi vecinatate pentru un numar?
Daca da, cum dovedesc asta intr-un mod satisfacator(pentru eventuale lucrari)?
Intrebarea dumneavoastra este pertinenta. Am sa incerc sa va raspund cat mai logic:
O vecinatate, prin definitie, este o multime. Un interval, este o multime (infinita) de numere (reale, in acest caz). O reuniune de intervale sau reuniunea dintre o multime si un interval este tot o multime. Deci, evident ca poate fi o vecinatate orice multime care respecta acea conditie, in acest caz si o reuniune de intervale.
In cazul prezentat,
este o vecinatate pentru 3 pentru ca exista un interval (sa zicem
) care il contine pe 3, iar intervalul considerat la randul lui este inclus in acea multime (vecinatate).