As vrea un exemplu rezolvat ca sa pot face celelalte exercitii, lipsind la ora cand s`a predat ! Daca se poate :
Sa se verifice daca functia F:R->R
*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[F(X) = \{ \begin{array}
{\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}\\
{\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - \frac{3}{2},x > 1}
\end{array}\]
*** Error message:
Illegal character in array arg.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Illegal character in array arg.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Missing $ inserted.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Extra }, or forgotten $. (in macro \@nextchar)
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Extra }, or forgotten $. (in macro \@nextchar)
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Illegal character in array arg.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Illegal character in array arg.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
Illegal character in array arg.
leading text: ...2}} + x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}},x \le 1}
este primitiva a functiei f:R->R,
![\[f(X) = \{ \begin{array} {{2^x} + 1,x \le 1}\\ {x + 2,x > 1} \end{array}\]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30b9bd9b9aa8ccac143bb2f6b34f79b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Multumesc anticipat !
Trebuie să arăţi că F este derivabilă pe R şi că F'(x) = f(x) pentru orice x real.
În clasa a XI-a ai învăţat că restricţia lui F la intervalul (-oo; 1) este derivabilă în orice punct şi, în plus F'(x)=
; restricţia lui F la (1; oo) este derivabilă în orice punct şi F'(x)=
.
Am arătat deci că egalitatea F'(x) = f(x) are loc pentru orice x
. Mai rămâne să arătăm că şi în x=1
F este derivabilă şi are loc egalitatea F'(1)=f(1) =2^1+1=3.
Pentru aceasta am de ales între două posibilităţi: să calculez derivatele laterale în 1 conform definiţiei, sau să le calculez
conform C.T.L. (corolarul teoremei lui Lagrange); aici prefer a doua variantă. Verific continuitatea lui F în 1:
, deci F este continuă în 1.
, deci F'(1)=3=f(1).
În concluzie, F'(x)=f(x) are loc pentru orice x real, adică F este o primitivă a lui f.
Cu bine, ghioknt.