Home/ Intrebari/Q 82843
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
Pe: 2013-09-17T16:27:37+03:00 In: In:

Inegalitate in patrulater

Fie patrulaterul inscriptibil ABCD cu laturi de lungimi a,b,c,d si diagonale de lungimi d1 si d2. Demonstraţi că:

\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq 4(\frac{1}{d_{1}^{2}}+\frac{1}{d_{2}^{2}})

Similare

5 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Attached files

  2. ghioknt
    profesor

    Inegalitatea de demonstrat nu are loc între 6 numere arbitrare, ci între elementele unui patrulater inscriptibil.
    Este greu de crezut că există o demonstraţie care să nu speculeze relaţiile care există între aceste elemente.
    a). Prima teoremă a lui Ptolemeu: cu notaţiile din enunţ, patrulaterul este inscriptibil dacă şi numai dacă

        \[ ac + bd = d_1 d_2 \]

    .
    În cuvinte: suma produselor lungimilor laturilor opuse = produsul lungimilor diagonalelor.
    b). A doua teoremă a lui Ptolemeu. Precizez că diagonala d_1 ,,separă” laturile a,b de c şi d, iar d_2 separă a, d de b şi c.
    Atunci

        \[ d_1 \left( {ab + cd} \right) = d_2 \left( {ad + bc} \right)\,\,\,sau\,\,\,\frac{{d_1 }}{{d_2 }} = \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}}. \]

        \[ \begin{array}{l} \left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{cd}}} \right) + \left( {\frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ad}}} \right) = \frac{{ab + cd}}{{abcd}} + \frac{{ad + bc}}{{abcd}} = \frac{{ab + cd}}{{\sqrt {\left( {ad} \right)\left( {bc} \right)} \cdot \sqrt {\left( {ac} \right)\left( {bd} \right)} }} + \frac{{ad + bc}}{{\sqrt {\left( {ab} \right)\left( {cd} \right)} \cdot \sqrt {\left( {ac} \right)\left( {bd} \right)} }} \ge \\ \ge \frac{{4\left( {ab + cd} \right)}}{{\left( {ad + bc} \right)\left( {ac + bd} \right)}} + \frac{{4\left( {ad + bc} \right)}}{{\left( {ab + cd} \right)\left( {ac + bd} \right)}} = 4\left( {\frac{{ab + cd}}{{ad + bc}} \cdot \frac{1}{{ac + bd}} + \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}} \cdot \frac{1}{{ac + bd}}} \right) = \\ = 4\left( {\frac{{d_2 }}{{d_1 }} \cdot \frac{1}{{d_1 d_2 }} + \frac{{d_1 }}{{d_2 }} \cdot \frac{1}{{d_1 d_2 }}} \right) = 4\left( {\frac{1}{{d_1^2 }} + \frac{1}{{d_2^2 }}} \right). \\ \end{array} \]

    Observaţii:
    1). Când am scris radicalii, acolo unde la numarator a era înmulţit cu b, sub radicali am asociat pe a cu celelalte
    doua litere, cu d si cu c, aceeaşi regulă la a doua fracţie.
    2). Evident, am alicat banala inegalitate a mediilor.
    3). Am folosit ambele teoreme ale lui Ptolemeu pentru patrulatere inscriptibile.

    Cu bine, ghioknt.

  4. ghioknt
    profesor

    Domnul DD este un maestru al inegalităţilor! Dacă aş fi văzut postarea înainte de a începe eu, probabil nu te-aş mai
    fi plictisit cu a mea. Totuşi, un profesor al meu spunea: decât să faci (la clasă) 10 probleme, mai bine faci o problemă
    prin 10 metode. Alte vremuri!

    Cu bine, ghioknt.

  5. viperaza

    Vă mulţumesc!

  6. DD
    profesor

    Domnule ”Ghioknt”,pe mine ma pasioneaza geometria si daca inegalitatile sunt legate de geometrie , le mai descifrez (cele algebrice chiar f greu), asa ca este departe de mine denumirea de expert. Sunt de acord cu ceea ce va spus profesorul dumneavoastra , iar pe dumneavoastra va apreciez in mod deosebit. Cu respect DD

Raspunde

Raspunde