Home/ Intrebari/Q 82659
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alex97
Pe: 2013-09-03T13:02:07+03:00 In: In:

Exerctii

Buna ziua!
Va rog sa ma ajutati sa rezolv aceste exercitii!

Attached files

Similare

5 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    Toate problemele de aici se pot demonstra cu metoda inductiei matematice. Pentru exercitiile 1 si 2 iti prezint o alta metoda…

        \[ \begin{array}{l} 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1 - 1} \right) \cdot k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right) \cdot k! - k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)! - k!} = \left( {2! - 1!} \right) + \left( {3! - 2!} \right) + ... + \left( {n! - \left( {n - 1} \right)!} \right) + \left( {\left( {n + 1} \right)! - n!} \right) = \left( {n + 1} \right)! - 1. \\ 2) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k + 1}}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{k^2 + 2k + 1 - k^2 }}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left( {k + 1} \right)^2 - k^2 }}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k^2 }} - \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} = \\ = \left( {\frac{1}{{1^2 }} - \frac{1}{{2^2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{2^2 }} - \frac{1}{{3^2 }}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{n^2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{n^2 }} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }}} \right) = 1 - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{n^2 + 2n + 1}}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{n^2 + 2n}}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} \\ \end{array} \]

  2. alex97

    Multumesc ! Dar o idee pentru 3 si 4?

  4. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    n^3+5n=n^3-n+6n=
    =n(n^2-1)+6n=
    =n(n-1)(n+1)+6n
    n(n-1)(n+1) este produsul a 3 numere consecutive si deci este divizibil cu 6.
    6n este si el divizibil cu 6 iar suma a doua numere divizibile cu 6 este divizibila cu 6 si cu asta am rezolvat problema.

    Varianta de dmonstratie prin inductie: tema pentru acasa… 🙄

    Ia incearca urmatoarea generalizare :
    Daca p este un numar prim atunci
    n^p+(2p-1)n este divizibil cu 2p

  5. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    2^(4n+1)-2=
    =2(2^(4n)-1) si deci numarul din enunt este divizibil cu 2.
    2^4 da restul 1 la impartirea cu 5 si deci resturile la impartirea cu 5 ale lui 2^n se repeta din 4 in 4.
    Ca urmare 2^(4n) da restul 1 la impartirea cu 5 pentru orice n natural si deci
    2^(4n)-1 se divide cu 5
    Analog, resturile impartirii lui 2^m la 3 se repeta din 2 in 2 si deci 2^(4m)-1 se divide cu 3.

    Deci numarul din enunt se divide cu 2*3*5=30 (2;3;5 sunt prime intre ele doua cate doua)

    Demonstratia prin inductie=tema pentru acasa 🙄

  6. alex97

    Multumesc mult!

Raspunde

Raspunde