Home/ Intrebari/Q 82437
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
Pe: 2013-08-06T17:15:09+03:00 In: In:

funtie

OLM 2013 Arad:

Fie a>0, a diferit de 1. Determinati functiile f:[0,1]–>R care indeplinesc simultan relatiile:

(i) | f(x) – f(y) |<=|a^x – a^y|, oicare x,y din [0,1]

(ii) {f(0) , f(1)} = {1,a}.

Similare

1 raspuns

  1. TheodorMunteanu

    daca a>1 atunci avem 2 subcazuri:
    1.f(0)=1,f(1)=a.
    din inegalitatea |f(x)-f(y)|\leq |a^x-a^y|
    punand y=0 atunci |f(x)-1|\leq |a^x-1|=a^x-1
    deci 1-a^x\leq f(x)-1\leq a^x-1
    asadar f(x)\leq a^x
    pe de alta parte din y=1,|f(x)-f(1)|\leq |a^x-a|
    deci |f(x)-a|\leq |a^x-a|=a-a^x
    deci a^x-a\leq f(x)-a\leq a-a^x\Rightarrow f(x)\leq 2a-a^x
    din prima inegalitate obtinem ca f(x)\geq a^x
    in concluzie f(x)=a^x
    2.pentru f(0)=a,f(1)=1,punand y=0,|f(x)-a|\leq |a^x-1|=a^x-1
    deci 1-a^x\leq f(x)-a\leq a^x-1deci 1+a-a^x\leq f(x)\leq a^x+a-1
    pe de alta parte |f(x)-1|\leq |a^x-a|=a-a^x
    deci a^x-a\leq f(x)-1\leq a-a^x
    deci a^x-a+1\leq f(x)\leq a+1-a^x

    deci f(x)=a^x+1-a

    pentru cazul 2 in care 0<a<1
    se iau din nou subcazurile
    2.1) f(0)=1,f(1)=asi obtii |f(x)-f(0)|\leq |a^x-1|=1-a^xetc.si aici f(x)=a^xobtinut in mod analog prin dubla inegalitate
    si cazul 2.2)f(0)=a,f(1)=1……..

Raspunde

Raspunde