Home/ Intrebari/Q 82301
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Gundor
Pe: 2013-07-17T21:51:59+03:00 In: In:

limita unui sir crescator – Problema admitere FMI 2011

f:R\rightarrow R, f(x)=(x^2+x+1)e^x

Aratati ca sirul (a_{n}) ,_{n\in \mathbb{N}} , a_{0}\in \mathbb{R}, \; \; a_{_{n+1}}=e^{-a_{n}}\cdot f(a_{n}),\: oricare \: n \in \mathbb{N}
este crescator si limita cand n tinde la infinit din a_{n} este +infinit

Am aratat ca Imaginea functiei f este (0, infinit) si
am aratat ca sirul este crescator facand diferenta a_{n+1}-a_{n}
Insa nu stiu unde ar trebui sa inlocuiesc sa demonstrez corect ca limita este inifinit …

Similare

6 raspunsuri

  1. TheodorMunteanu

    trebuie sa ajungi la faptul ca a_{n+1}=a_n^2+a_n+1deci a_{n+1}-a_n=a_n^2+1\geq 1
    cum a_{n+1}-a_n\geq 1rezulta ca a_{n+1}-a_1\geq ndeci a_n\geq n-1+a_1\to \infty

    La ce dai,la mate sau la info?

  2. TheodorMunteanu

    PS:poti folosi si criteriul raportului putin ajustat;
    daca \frac{a_{n+1}}{a_n}>a>1atunci \lim_{n\to \infty}a_n=\infty
    ATENTIE insa la acel a
    Daca \frac{a_{n+1}}{a_n}>1nu rezulta neaparat ca sirul tinde la infinit!
    Contraexemplu:pentru sirul cu proprietatea ca a_1\in R,\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{n}acest sir are limita……………..< infinit
    astept din partea ta un raspuns la aceasta intrebare!

    Revenind la problema noastra,daca demonstrezi ca a_n>0
    iar \frac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+1+\frac{1}{a_n}\geq 3>1rezulta folosind acest criteriu al raportului ca limita lui a_ne infinit.

  4. Gundor

    Prima rezolvare am inteles-o perfect, multumesc mult pentru ajutor. As mai avea o intrebare, totusi: \lim_{x\to \infty}a_{n+1}=\lim_{x\to \infty}a_n , in cazul in care sirul nu este convergent ?

    Pt sirul a_1\in R,\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{a_{n}},
    nu-mi dau seama care este limita, desi pare clar ca e finita pt. ca raportul tinde la 1.

    Mai multe explicatii ale acestui criteriu al raportului ar fi binevenite.

    La facultate dau la info, ma pricep mai bine acolo, ca la mate nu prea am avut noroc de profesori buni sau prea multa motivatie sa invat singur.

  5. TheodorMunteanu

    pai criteriul raportului functioneaza cand limita raportului e diferita de 1,daca aceasta exista.
    iar aici,problema e cum nu se poate mai simpla;
    aduci la acelasi numitor si obtii ca a_{n+1}-a_n=1
    bineinteles,trebuie si ca a_1,a_2,...,a_n\neq 0
    deci limita sirului a_n e infinit.

  6. Gundor

    Pardon, ma refeream la sirul pe care l-ati dat contraexemplu, a_1\in R,\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{n}. Inteleg ca, limita raportului fiind 1, => limita este finita.
    a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}}{n} , dar nu stiu daca este >0 sau <0 , a_{n}\in R deci nu situ daca sirul este monoton.

    Pot afla limita?

  8. TheodorMunteanu

    \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot...\cdot \frac{a_2}{a_1}=[tex]\frac{a_{n+1}}{a_1}[/tex]=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n-1}\right)...\left(1+\frac{1}{2})[tex]=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{n}{n-1}\cdot…2=\frac{n+1}{2}[/tex]
    deci contraexemplul meu nu e bun!

Raspunde

Raspunde