Home/ Intrebari/Q 81423
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Pollux
Pe: 2013-04-23T21:08:43+03:00 In: In:

Sir

Sa se determine sirul (a_n)_n_\geq_0 \subset(0,\infty),stiind ca

\sum_{k=0}^{n} a_k * a_{n-k} = \frac{2^n}{n!}

Tot ce am facut a fost sa scriu mai explicit suma si am luat doua cazuri,depinzand de paritatea lui n.Astfel,am obtinut niste sume,dar nu stiu la ce ar putea ajuta. . . Orice idee este binevenita

Multumesc anticipat !

Similare

1 raspuns

  1. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} a_0 ,a_1 ,...,a_n > 0 \\ \sum\limits_{k = 0}^n {a_k \cdot a_{n - k} = \frac{{2^n }}{{n!}}} ,\forall n \in N \\ \end{array} \]

        \[ \begin{array}{l} n = 0 \Rightarrow a_0 ^2 = 1 \Rightarrow a_0 = 1 \\ n = 1 \Rightarrow 2a_0 \cdot a_1 = 2 \Rightarrow a_1 = 1 \\ n = 2 \Rightarrow 2a_0 \cdot a_2 + a_1 \cdot a_1 = 2 \Rightarrow a_2 = \frac{1}{2} \\ n = 3 \Rightarrow a_0 \cdot a_3 + a_1 \cdot a_2 = \frac{2}{3} \Rightarrow a_3 = \frac{1}{6} \\ n = 4 \Rightarrow a_4 = \frac{1}{{24}} \\ \end{array} \]

    Se observa ca

        \[ a_n = \frac{1}{{n!}} \]

    si ar trebui demonstrata prin inductie.

Raspunde

Raspunde