Home/ Intrebari/Q 81044
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

sj_elf_ro
Pe: 2013-03-21T17:45:55+02:00 In: In:

siruri

Fie (an)n>=1 un sir neconstant pentru care 3(a1+a2+…+an)=n*an+1, oricare ar fi n numar natural nenul. Sa se arate ca sirul (bn)n>=1, definit prin n*bn=an este o prograsie aritmetica.

Similare

1 raspuns

  1. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} n \cdot a_{n + 1} = 3\left( {a_1 + a_2 + ... + a_n } \right),\forall n \in N^* \\ \\ n = 1 \Rightarrow a_2 = 3a_1 \\ n = 2 \Rightarrow a_3 = 6a_1 \\ n = 3 \Rightarrow a_4 = 10a_1 \\ \vdots \\ \end{array} \]

    Se observa ca

        \[ a_n = a_1 \cdot \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2},\forall n \in N^* \]

    .

        \[ n \cdot b_n = a_n \Leftrightarrow b_n = \frac{{a_n }}{n} \Leftrightarrow b_n = a_1 \cdot \frac{{n + 1}}{2} \]

    .

    Daca bn este progresie aritmetica, inseamna ca

        \[ b_n = \frac{{b_{n - 1} + b_{n + 1} }}{2},\forall n \in N,n \ge 2 \]

    .

        \[ b_n = \frac{{b_{n - 1} + b_{n + 1} }}{2} \Leftrightarrow a_1 \cdot \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{a_1 \cdot \frac{n}{2} + a_1 \cdot \frac{{n + 2}}{2}}}{2} \Leftrightarrow a_1 \cdot \frac{{n + 1}}{2} = a_1 \cdot \frac{{\frac{{2n + 2}}{2}}}{2}_{\left( {adev.} \right)} \]

    Asadar bn este o progresie aritmetica.

Raspunde

Raspunde