Home/ Intrebari/Q 80731
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

StefanaL
Pe: 2013-03-02T08:35:04+02:00 In: In:

Geometrie. Sinus si cosinus.

1.c , 3 si 4.
Putin ajutor va rog frumos : o3.

Attached files

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    O suma de forma

        \[ \sum\limits_{k = 1}^n {t_k } \]

    este usor de calculat daca reusesti sa scrii termwnul general al sumei ca diferenta a 2 termeni consecutivi ai unui alt sir:

        \[ \,t_k = a_k - a_{k - 1} \]

    sau

        \[ \,t_k = a_k - a_{k + 1} \]

    In primul caz, cand termenii sirului a sunt in ordinea descrescatoare aindicilor, obtinem:

        \[ \sum\limits_{k = 1}^n {t_k } \, = \sum\limits_{k = 1}^n ( a_k - a_{k - 1} ) = (a_1 - a_0 ) + (a_2 - a_1 ) + (a_3 - a_2 ) + ..... + (a_{n - 1} - a_{n - 2} ) + (a_n - a_{n - 1} ) = a_n - a_0 \]

    , adica termenul cu cel mai mare indice-termenul cu cel mai mic indice,
    In al doilea caz, cand termenii sirului a apar in ordinea crescatoare a indicilor, obtinem ca rezultat termenul cu cel mai mic indice – termenul cu cel mai mare indice, petru ca toti ceilalti termeni se reduc:

        \[ \sum\limits_{k = 1}^n {t_k } = \sum\limits_{k = 1}^n ( a_k - a_{k + 1} ) = (a_1 - a_2 ) + (a_2 - a_3 ) + ..... + (a_n - a_{n + 1} ) = a_1 - a_{n + 1} ) \]

    Pentru 1c) folosim 1a), numai ca identitatea respectiva este gresita; corect este:

        \[ ctg\,a - 2ctg2a = tg\,a \]

    Aplicand aceasta identitate pentru a=x/2^k,obtinem:

        \[ S_n = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{2^k }}tg\,\frac{x}{{2^k }} = } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{2^k }}(ctg\,\frac{x}{{2^k }} - 2ctg\,\frac{x}{{2^{k - 1} }}) = } \sum\limits_{k = 0}^n {(\frac{1}{{2^k }}} ctg\,\frac{x}{{2^k }} - \frac{1}{{2^{k - 1} }}ctg\,\frac{x}{{2^{k - 1} }} \]

    (a aparut diferenta a doi termeni consecutivi!) =

        \[ \frac{1}{{2^n }}ctg\,\frac{x}{{2^n }} - 2ctg\,2x \]

    3a) este banal: se pleaca de la membrul 2, se inlocuiesc tangentele cu sin pe cos si se obtine membruli ntai.
    La 3b) se aplica 3a):

        \[ S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {(tg\,k - tg\,(k - 1)) = tg\,n - tg\,0 = tg\,n} \]

    4) Din identitatea cunoscuta,

        \[ \sin \,3x = 3\sin \,x - 4\sin ^3 \,x\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\sin ^3 x = \frac{1}{4}(sin\,x - \sin \,3x \]

    pe care o aplicam pentru x/3^k in termenul general:

        \[ S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {3^{k - 1} \cdot \frac{1}{4}(3\sin \frac{x}{{3^k }} - \sin \frac{x}{{3^{k - 1} }}) = \frac{1}{4}} \sum\limits_{k = 1}^n {(3^k } \sin \frac{x}{{3^k }} - 3^{k - 1} \sin \frac{x}{{3^{k - 1} }}) = \frac{1}{4}(3^n \sin \frac{x}{{3^n }} - \sin \,x) \]

Raspunde

Raspunde