Home/ Intrebari/Q 80412
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Beatricce13
Pe: 2013-02-10T12:59:26+02:00 In: In:

Intrebare radacini de ordinul n al nr complex

Am o intrebare, mi se cere intr-o problema sa aflu radacinile cubice ale urmatoarelor numele complexe:

spre exemplu -i . Cam cum ar trebui sa procedez?

Similare

1 raspuns

  1. gunty
    maestru (V)

    Scriem egalitatea:

        \[ z^3 = - i \]

    Fie z=a+bi, unde a si b sunt numere reale. Astfel primim:

        \[ \begin{array}{l} \left( {a + bi} \right)^3 = - i \\ \Leftrightarrow \left( {a^2 + 2abi - b^2 } \right)\left( {a + bi} \right) = - i \\ \Leftrightarrow a^3 - 3ab^2 + 3a^2 bi - b^3 i + i = 0 \\ \Leftrightarrow a^3 - 3ab^2 + i\left( {3a^2 b - b^3 + 1} \right) = 0 + 0i \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^3 - 3ab^2 = 0 \Leftrightarrow a\left( {a^2 - 3b^2 } \right) = 0 \\ 3a^2 b - b^3 + 1 = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]

    De aici sunt doua posibilitati:

    1.: Daca a=0 =>

        \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 = 0 \\ - b^3 + 1 = 0 \Leftrightarrow b = 1 \\ \end{array} \right. \]

    Deci o radacina este z=0+1i=i

    2.: Daca

        \[ a \ne 0 \]

    =>

        \[ \left. \begin{array}{l} a^2 - 3b^2 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 3b^2 \\ 3a^2 b - b^3 + 1 = 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow 9b^3 - b^3 + 1 = 0 \Leftrightarrow b^3 = - \frac{1}{8} \Rightarrow b = - \frac{1}{2} \]

    Inlocuim b=-1/2 in egalitatea

        \[ a^2 = 3b^2 \]

    , si primim:

        \[ a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \]

    Asadar,

        \[ z = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \]

    sunt radacini.

    In concluzie, radacinile cubice a egalitatii sunt:

        \[ \left\{ \begin{array}{l} z_1 = i \\ z_2 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \\ z_3 = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \\ \end{array} \right. \]

    * Din cate stiu, exista si ceva formula pentru egalitati de genu. Cauta in manual, poate o gasesti.

Raspunde

Raspunde