Ma poate ajuta cineva sa continui, va rog?
![\[ \begin{array}{l} {\rm{Determinati numerele reale }}x{\rm{ pt care }}\frac{{2x + 1}}{{x^2 + 2x + 3}}{\rm{ este numar intreg}}{\rm{.}} \\ Solutie \\ \frac{{2x + 1}}{{x^2 + 2x + 3}} = k,{\rm{ unde }}k \in Z \\ \frac{{x^2 + 2x + 1 - x^2 }}{{x^2 + 2x + 1 + 2}} = k \Rightarrow \frac{{(x + 1)^2 - x^2 }}{{(x + 1)^2 + 2}} = k \Rightarrow \frac{{p^2 - x^2 }}{{p^2 + 2}} = k \Rightarrow \frac{{(p - x)(p + x)}}{{p^2 + 2}} = k \Rightarrow (p - x)(p + x) = kp^2 + 2k \Rightarrow (p - x)(p + x) = k(p^2 + 2) \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0de6d4d73dc59f3533811f2d45d3b16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Varianta abordata de tine merge in special cand lucrezi cu numere intregi.
Ai mai jos o varianta destul de simpla.
http://postimage.org/image/s76bst6l5/
Multumesc. Sper ca mai stati pe forum astazi? Maine am olimpiada la mate, etapa pe sector si sunt ametit deja!
Sau poti sa notezi fractia cu k. Si dupa scoti o ecuatie de gradul doi incare toti coeficientii vor fi in functie de k si vei obtine aceleasi solutii.
1. Nu am scris nicaieri in rezolvare acea relatie.
2. In privinta imaginii functiei f: la nivel de gimnaziu este intr-adevar dificil sa determinam multimea valorilor unei functii, exceptie facand cazul in care o expresie din componenta functiei ne ajuta. Este cazul nostru. Expresia de la numitor este strict pozitiva si „creste” in modul „mai repede” decat numaratorul. Cu ochiul liber se vede ca, in modul, expresia functiei este mai mica sau egala cu 1. Asta ne da inegalitatea din stanga. Pentru cea din dreapta observam ca 1 este un „majorant” slab (Inegalitatea rezultata este prea „larga”). Sigur gasim unul subunitar. In general cautam acel numar pentru care obtinem un patrat raportat la zero (sau o suma de expresii pozitive). Nu era greu de observat ca era 1/2. Dar nu era nicio problema daca nu vedeai un majorant subunitar. Ramaneai la 1 si atunci numerele intregi din intervalul [-1,1] erau -1,0 si 1. Aveai de rezolvat trei ecuatii (nu doua). Cei care au depasit clasa a XI-a nu intampina niciun obstacol in a determina imaginea unei functii. Au alte mijloace matematice.
La nivelul clasei a VII-a , o solutie pur intuitiva ar putea fi :
x^2+2x+3=(x+1)^2 +2 rezulta x^2+2x+3 >=2>0 , pentru orice x numar real
rezulta prima solutie (2x+1)/( x^2+2x+3)=0 , deci 2x+1=0 rezulta x=
O alta solutie rezulta astfel:
(2x+1)/( x^2+2x+3) = (2x+1)/ (x*(x+2)+3) = (2x+4-3)/ (x*(x+2)+3) = (2*(x+2)-3)/(x*(x+2)+3)
Observam ca pentru x+2=0 rezulta (2x+1)/( x^2+2x+3)=-3/3=-1
Demonstram ca nu sunt alte solutii:
Presupunem (2x+1)/( x^2+2x+3) >=1 adica 2x+1 >= x^2+2x+3 rezulta x^2+2<=0 contradictie
Presupunem (2x+1)/( x^2+2x+3) <-1 adica -(2x+1) > x^2+2x+3 rezulta (x+2)^2<0 contradictie